PMP. La diagonal.

En la gran mayoría de pasatiempos donde se plantean problemas algebraicos, lo usual es que aparezca una serie de símbolos que tienen una determinada equivalencia numérica que hay que encontrar. Para ello solemos saber cuál es el resultado de alguna operación que se hace con los valores de esos símbolos, normalmente, una suma.

Una primera idea puede ser el presentar en forma algebraica las igualdades que aparecen, dando lugar a una serie de ecuaciones. Eso ocurre por ejemplo cuando trabajamos con balanzas, tal como vimos en PMP. Balanzas o en la entrada PMP. Nivélela. En otras ocasiones podemos crear un sistema de varias ecuaciones con varias incógnitas, tal como vimos en PMP. Sumafrutas.

Por supuesto, no es necesario plantear un sistema de muchas ecuaciones con incógnitas para resolverlos, pues lo tradicional es ir completando relaciones, como se hace por ejemplo en las balanzas, has ta encontrar los valores buscados. Hay que pensar, que estos pasatiempos van dirigidos a personas que no han estudiado el Método de Gauss o la Regla de Cramer, por lo que no es necesario saber resolver un sistema grande de ecuaciones.

Hoy vamos a incluir dos ejemplos de un tipo de pasatiempo que entraría dentro del conjunto del que estamos hablando. Su título es La diagonal y lo presenta Jurjo en los pasatiempos de fin de semana de El País.Consiste en un recuadro de forma que tenemos cinco letras, las cinco vocales, a las que hay que asignar su valor correspondiente. Sabemos el valor de la suma de distintas combinaciones de ellas, suma que siempre vale lo mismo.

El primer ejemplo está tomado del diario del 29 de julio de 1990.

Este segundo ejemplo es de distinta década, pues está tomado del 22 de julio del año 2000.

PMP. Multiplicación.

Uno de los bloques que nosotros consideramos dentro de los números está formado por lo que solemos llamar juegos numéricos. En ellos, lo usual es tener que colocar los números en un tablero, considerando ciertas propiedades.

En estas propiedades es muy usual que se utilicen condiciones de ordenación, pero sobretodo se repasan los conceptos de divisibilidad. Nos podemos encontrar así pasatiempos en los que debemos colocar los números en unas determinadas casillas, para que al hacer una operación se obtengan números primos, o números enteros consecutivos, o múltiplos de determinados valores.

Hoy vamos a presentar tres ejemplos de juegos numéricos en los que hay que colocar unos ciertos números en un tablero, de forma que sabemos cuánto vale el producto de varios de ellos. Los tres ejemplos que presentamos hoy están tomados de los pasatiempos de fin de semana del desaparecido Diario 16, aunque no guardamos registro de las fechas exactas.

En el primero, sabemos cuáles son los números que tenemos que colocar, eso nos permite, en cierta forma, probar hasta intentar conseguir colocarlos.

Sin embargo, en el segundo caso el problema se complica, pues ahora no tenemos constancia de los números que debemos colocar. Ya no hay más remedio que descomponer los números en producto de factores e investigar los divisores comunes a los números centrales que tengan en común un vértice.

En el anterior teníamos al menos un número ya colocado. En el siguiente debemos comenzar sin tener constancia de ningún factor, lo que complica la resolución del problema.

PMP. Pasatiempos infantiles.

Hay muchas personas para las que los pasatiempos significan un entretenimiento para rellenar sus momentos de ocio más o menos extensos. Podemos ver personas resolviendo pasatiempos en las playas y piscinas, pero también mientras se espera un autobús o un tren, en la consulta de un médico o incluso mientras se desayuna en el bar. 

Sin embargo, hay otro grupo de personas para las que, además de lo anterior, los pasatiempos representan un recurso para trabajar en el aula, en nuestro caso en la clase de matemáticas. Desde el momento en que comenzamos a coleccionar pasatiempos útiles para el aula, hemos intentado recoger todos aquellos en los que se podían aplicar algunos de los heurísticos aplicables en la resolución de problemas, independientemente del nivel que mostraran y de que nos pudieran servir o no directamente en nuestros cursos concretos. Por eso, hemos almacenado y organizado muchos pasatiempos infantiles que, aunque pueden estar muy por debajo del nivel en el que trabajábamos, pudieran servir para los compañeros que impartían docencia en niveles más bajos.

Desgraciadamente, en la actualidad no es posible encontrar en los diarios, al menos los de tirada nacional, pasatiempos dirigidos a niños más o menos pequeños. En las anteriores décadas si era posible siempre encontrar una parte infantil, en los diarios de fin de semana, que permitía fomentar la curiosidad, potenciar la memoria, preparar para la resolución de problemas, etc..

Entre los pasatiempos infantiles se potencia, sobretodo, la visualización y la capacidad de observación. Ya que no se cuenta con las herramientas de cálculo de cursos superiores, el planteamiento del problema debe ser mucho más visual.

Vamos a presentar hoy tres ejemplos dirigidos para los alumnos más pequeños. Los tres están sacados de la revista dominical del desaparecido Diario 16 del 3 de julio de 1988, correspondientes a la sección infantil cuya autoría se adjudicaba a Ángel Navas.

En este primero no es necesario saber contar para resolverlo, pues como los frutos están siempre colocados en el mismo sitio, basta comparar dos imágenes y ver cuál tiene algún punto que no estaba en la otra.

En el segundo basta tener claro la imagen que se quiere encontrar y bastaría ir comparando y, por ejemplo, colorar un punto de color sobre la cabeza de la figura que no sirviera, y de esa manera se podían ir descartando. También es necesario girar el dibujo para localizar mejor la pieza.

En el último caso basta comenzar por un pico determinado e ir comprobando los que siguen. En éste hay que forzar la visión para localizarlo. En niños pequeños que tengan dificultad para la visión espacial, se podría dejar que recortaran las piezas y las probaran.

PMP. Series con operaciones.

En anteriores entradas hemos trabajado el grupo de pasatiempos que englobamos dentro del grupo de series o sucesiones de números. En general una serie es un conjunto de números, dibujos o símbolos que están ordenados según una determinada regla. Lo que debe hacerse es encontrar esa regla para conseguir resolver el acertijo. En unas ocasiones debemos seleccionar entre varias opciones cuál es la que sigue o simplemente decir nosotros cuál es la que sigue. En otros casos debemos ver, entre una serie de elementos, cuál no sigue la misma regla. Varios ejemplos de todos estos casos los hemos incluido ya. Se puede consultar el bloque correspondiente si se desean ver las entradas anteriores.

Uno de los ejemplos más típicos de series son las sucesiones de números en las que la regla se va aplicando en cada término o a veces toman varios términos seguidos. Hoy vamos a presentar un ejemplo de pasatiempos de series en los que los problemas propuestos son diferentes. En este caso vamos a tener un conjunto de pequeñas series independientes en las que hay que encontrar una regla de formación para aplicar en el último conjunto de números.

El ejemplo más simple lo podemos encontrar en el pasatiempo infantil tomado del suplemento de El País.

En el caso anterior hay una única operación que da la solución de la regla de formación. Pero lo usual es que las reglas de formación estén compuestas de varias operaciones, como podemos ver en el ejemplo tomado del Diario 16.

Añadimos por último un caso como el anterior, donde la regla es más complicada de localizar. Está tomada de la revista Multisalud del verano de 1997.

PMP. Cuadrados latinos.

Los cuadrados latinos en matemáticas son un conjunto de números o símbolos colocados en filas y columnas con la característica de que ningún número o símbolo se repite en ninguna de las filas o columnas en que están situados. Básicamente consisten en un cuadrado de lado nxn donde se colocan n símbolos en cada fila y cada columna de forma que no se repitan.

Un caso particular, y bastante conocido actualmente, de estos cuadrados latinos son los sudokus y muchos de los pasatiempos que han aparecido en su estela, como el kenken del que hablamos hace un par de semanas. Sin embargo, los cuadrados latinos son mucho más antiguos, pues su nombre se debe al gran matemático Leonard Euler (1707 - 1783). Incluso es posible encontrar estas estructuras antes, en concreto se citan en el libro de recreaciones matemáticas y físicas editado en 1725 por Jacques Ozanam.

Es fácil encontrar este tipo de acertijo entre los pasatiempos, especialmente los infantiles. Hoy vamos a presentar varios tomados todos del apartado infantil de las publicaciones.

El primero está tomado del diario El País del 15 de julio del año 2000.

Entre los sudokus, podemos encontrar algunos en los que, aparte de exigir que las cifras del 1 al 9 aparezcan en cada fila y cada columna sin repetir, se exigen más condiciones, por ejemplo, que no se repitan en las diagonales. Algo parecido ocurre en el siguiente tomado el mismo año que el anterior de El País, pero en este caso del 22 de abril. En él se nos impone también que los símbolos no se repitan en las esquinas.

En los casos anteriores hemos trabajado con cuadrados de lado 5, pero, igual que en los sudokus, podemos encontrar cuadrados de mayor o menor amplitud, como el siguiente, tomado de la revista Lecturas el 20 de septiembre de 2006.

PMP. Monedas de EL SOL

A lo largo de mi vida de interés por los pasatiempos, he recogido ejemplos de muchos periódicos. Varios de ellos han ido desapareciendo con los años, algunos con mayor o menor trayectoria. De índole estatal recuerdo el reciente caso del diario Público, que continuó en formato digital, pero también tengo mucho material del Diario 16.

Uno de los de más corta duración fue el periódico El Sol que estuvo en circulación menos de dos años, entre 1990 y 1992. Este diario tenía el respaldo del grupo Anaya y desde el principio se caracterizó por sus complementos de ocio y cultura. En concreto, los domingos se incluía un cuadernillo de 24 páginas independientes dedicadas a pasatiempos. Este suplemento figuraba realizado por Lauffer - Montenegro.

Aparte de los pasatiempos clásicos que se podían encontrar en otras publicaciones como jeroglíficos, crucigramas, palabras cruzadas, diferencias entre imágenes, etc..., era posible encontrar varios tipos de pasatiempos con fundamento matemático. Un grupo variado era el correspondiente a acertijos lógicos y, en particular, los correspondientes a palillos y monedas.

A principios del año pasado incluimos una entrada de título PMP. Cruz de monedas, en el que explicábamos este tipo de pasatiempo. En general consistía en distribuir una serie de monedas siguiendo una distribución predeterminada, bien a la que había que llegar o de donde había que partir para llegar a otra distribución.

Hoy vamos a incluir un bloque de estos rompecabezas tomados todos del diario El Sol del 9 de septiembre de 1990.

En el anterior debemos de conseguir varias líneas con una cantidad de monedas determinadas, tal como vimos en alguno de los que incluimos en la entrada anterior. Como es lógico, no pueden ser líneas independientes pues para tres líneas de tres monedas cada una necesitaríamos nueve monedas, si fuesen independientes.

En los dos siguientes se pide construir una cruz, algo también muy corriente en este tipo de pasatiempo.

PMP. Kenken

Como hemos comentado en otras ocasiones, en la actualidad, después de los tradicionales crucigramas, el pasatiempo que más se ha extendido ha sido, sin lugar a dudas, el sudoku. Creado a finales de los años ochenta en EEUU, se popularizó en Japón, y a principios de la década pasada comenzó a popularizarse en el mundo anglosajón a partir del periódico londinense Times. En nuestro país comenzó a ser conocido en el año 2005 y enseguida alcanzó una fama inesperada. A partir de ahí ha proliferado por muchas revistas y diarios de nuestro país. Nosotros ya le dedicamos una entrada a este pasatiempo hace ya ocho años, concretamente la entrada PMP. Sudoku con puntas.

También hemos comentado en otras ocasiones que, para los que nos interesan los pasatiempos matemáticos, ha sido una desgracia la proliferación del sudoku pues eso ha hecho desaparecer la gran diversidad de pasatiempos matemáticos que podían encontrarse en las publicaciones. Ya que el sudoku, aunque aparezcan números, no es propiamente un pasatiempo matemático, pues los números pueden ser sustituidos por letras o figuras. Básicamente un sudoku es un cuadrado latino, conocido desde la edad media, particularizado con números y con una estructura particular. Aunque desde luego los heurísticos necesarios para resolverlo se encuentran entre los típicos de la resolución de problemas.

Hoy vamos a presentar un pasatiempo aparecido y popularizado gracias a la fama del sudoku. Nos referimos al Kenken creado en el año 2004 por el profesor de matemáticas Tetsuya Miyamoto. Es conocido en muchos lugares como el sudoku matemático. Alcanzó un gran éxito cuando en el año 2009 comenzó a publicarlo el diario The New York Times.

Básicamente las reglas son las mismas que en el sudoku, debemos poner una serie de cifras en filas y columnas de forma que no se repitan. La diferencia en este caso es que no aparece ningún número ya colocado, como en el sudoku, sino que aparecen una serie de regiones, que son poliminós, y se nos informa de una operación realizada con los números que están dentro y del resultado de esa operación. Para ver mejor como es la resolución lo mejor es visionar el siguiente vídeo.

Desde hace años, el periódico El País, incluye uno de estos pasatiempos en su suplemento dominical, junto con varios tipos de sudokus. A continuación, presentamos uno de ellos.

El tamaño de los kenken puede ser variado. Hemos visto en el vídeo uno de lado 3 y otro ejemplo de lado 6, pueden encontrarse también de lado 4 o 9. Un ejemplo es el siguiente aparecido este verano en El País, concretamente el pasado 5 de agosto.

En internet pueden encontrarse muchos lugares donde se encuentran estos pasatiempos interactivos para poder jugar directamente. Una de esas páginas es la de nuestro amigo Joaquín García Mollá que tiene programados un montón de pasatiempos interactivos y en concreto un bloque de kenken. Puede jugarse con ellos aquí.