PMP. El camino más corto.

Desde pequeños aprendemos que la distancia más corta entre dos puntos es la línea recta. Después cuando crecemos nos damos cuenta que eso sólo es cierto en el plano, pues cuando estudiamos el globo terrestre, y sobretodo cuando comenzamos a viajar en avión, somos conscientes de que movernos en espacio trastoca algo nuestras apreciaciones en el plano.

Dentro de los acertijos típicos de las matemáticas recreativas, encontramos uno muy recurrente que consiste en un insecto no volador que recorre normalmente un poliedro y hay que encontrar el camino más corto para llegar de un punto a otro, pero con la restricción de que debe hacerse siguiendo las paredes del poliedro.

Este tipo de reto también aparece en los pasatiempos que podemos encontrar en las revistas, y vamos a presentar hoy un par de ejemplos.

El primero está tomado de la revista Muy Interesante, corresponde a un suplemento de verano pero no tenemos constancia de qué año.

El segundo, y para insistir en la línea de que muchos pasatiempos se pueden plantear a alumnos de distintas edades, está tomado del suplemento El Pequeño País del 26 de junio de 1988. Como aparece la solución, que se incluía directamente en la revista, nos da una idea de que para resolver este tipo de pasatiempos debemos pasar al desarrollo plano del poliedro y así encontrar el camino más corto.

PMP. Combinatoria.

Según la RAE (Real Academia Española), la combinatoria es la parte de las matemáticas que estudia el número de posibilidades de ordenación, selección e intercambio de los elementos de un conjunto, es decir, las combinaciones, variaciones y permutaciones. Básicamente, este bloque matemático estudia la forma y cantidad de formarse grupos de elementos atendiendo a los elementos que entran en esos grupos y, a veces, el orden en que se colocan.

La combinatoria suele ser bastante importante en muchos aspectos de las matemáticas, pero especialmente en el azar y la probabilidad, para estudiar la cantidad de casos, favorables o no, que tenemos en determinadas situaciones. Muchas veces la combinatoria se basa en los algoritmos de recuentos para encontrar la cantidad de casos que nos interesan. Para ello tenemos una serie de fórmulas y estrategias para hacer ese recuento, por ejemplo, utilizar los diagramas en árbol o las tablas de doble entrada.

Hoy vamos a proponer unas actividades en las que hay que utilizar esas técnicas de cálculo de opciones para encontrar la solución al acertijo que nos proponen.

El primero está tomado de la revista QUO número 25 de octubre de 1997.

El segundo es similar, tenemos también seis lugares para sentarse, pero ahora son solo cinco personas las que deben situarse en esos lugares. Éste está tomado del Diario de Sevilla del 16 de noviembre de 2013.

Como vemos en estos, es posible utilizar las fórmulas de combinatoria, si uno las conoce, o basta ser sistemático y esquematizar todas las posibilidades.

El último cambia un poco el enfoque. Tenemos que saber todas las posibilidades de llegada, en este caso no es complicado pues al ser cuatro jugadores el número de órdenes de llegada es el factorial de 4, 4! = 24. La dificultad estriba en saber en cuantas de esas posibilidades no llega ningún en el puesto que indica su dorsal. Está tomado de la revista QUO nº 21 de junio de 1997.

PMP. Series con colores.

En varias ocasiones nos hemos referido en estas páginas a series y sucesiones. Como hemos repetido otras veces, una serie es básicamente un conjunto de elementos que siguen una determinada regla. Normalmente, esa regla no viene indicada, por lo que es corriente que debamos encontrar esa regla y, posteriormente, encontrar el número que seguiría en esa serie. En algunas ocasiones se nos indican posibles soluciones y sólo tenemos que elegir la adecuada, pero en la mayoría de los casos tenemos que ser nosotros quienes indiquemos cuál es el elemento que continúa esa serie.

Las series que hemos incluido nosotros en este blog han sido mayoritariamente series numéricas, incluso hemos incluido algunos ejemplos de analogías numéricas, pero también hemos incluido algunas en la que los elementos que componen la serie son figuras que cambian según una lógica que, una vez descubierta, nos permite continuar la serie.

Por lo anterior, está claro que las series no tienen porqué estar únicamente compuesta de números. Hoy vamos a incluir un par de ejemplos en los que la regla de formación se basa en una variación de colores y sólo hay que encontrar la regla con que se modifican esos colores.

Un primer ejemplo lo vamos a tomar de la revista QUO. Aunque este pasatiempo saldría en algún número en particular, nosotros lo hemos recogido de un cuadernillo que salió como suplemento de la revista aparecida en febrero del 2002.

En el segundo caso, vamos a incluir un par de reglas en las normas de formación, ya que se mezclan colores diferentes con figuras geométricas que también van cambiando. Este segundo pasatiempo está tomado de la revista CNR que se publicó en febrero de 2005.

PMP. Cuadrados mágicos con condiciones

Hace ya casi dos años y medio, presentamos una entrada con el título PMP. Cuadrados mágicos. En ella presentábamos algunos cuadrados que tenían la propiedad de que los números que aparecían en las filas y las columnas siempre sumaban lo mismo. Es normal que se añada la exigencia de que las dos diagonales sumen lo mismo, aunque no siempre es obligatorio. 

Pero a veces, para darnos más pistas que nos puedan servir para encontrar la solución que vamos buscando, se suelen incluir más condiciones que las básicas de filas, columnas y diagonales. Hoy vamos a presentar unos ejemplos de esos pasatiempos.

El primer ejemplo, lo hemos tomado de la sección de pasatiempos de la revista CNR, aunque no guardamos la fecha exacta.

El segundo ejemplo lo hemos sacado de un cuadernillo que apareció como suplemento de la revista QUO nº 77, de febrero de 2002.

Por último, y dado que siempre nos gusta meter algún rompecabezas infantil, siempre que sea posible, incluimos un pasatiempo donde se consigue un cuadrado mágico famoso, aparece en un grabado de Alberto Durero. Este pasatiempo está tomado del suplemento El Pequeño País del 28 de agosto de 2005.

PMP. Simetría con espejos.

Uno de los conceptos más usuales en la geometría que se ve en primaria y secundaria es el tema de las simetrías. Se ven simetrías respecto a una recta y respecto a un punto, aunque la que más se trabaja es la primera opción.

La simetría de un elemento respecto a una recta, se puede trabajar perfectamente utilizando espejos, por eso es fácil comenzar a trabajar aspectos de simetría en el cuerpo, en la naturaleza o en el arte desde la más tierna infancia.

Hoy vamos a presentar una serie de pasatiempos basados en la simetría frente a espejos. Todos ellos están a nivel infantil pues no requieren conocimientos avanzados de matemáticas y sólo tener claro el concepto de simetría, y ser capaz de mirar con cuidado.

El primero es un típico dibujo de diferencias pero que es fácil encontrar la solución utilizando un espejo, o incluso es mucho mejor con un material como el mira. Está tomado del suplemento Pequeño País del 11 de diciembre de 1994.

El segundo ejemplo ya requiere un trabajo más sistemático que se puede hacer perfectamente en clase para anclar el concepto de simetría. Está recogido también del Pequeño País, en este caso del 8 de mayo de 1988.

Y el último caso consiste en localizar el eje de simetría que tiene el recuadro con el que se trabaja. Una vez localizado hay que completar las casillas que faltan. Está tomado del Diario de Sevilla del 23 de septiembre de 2005.

PMP. Pasatiempos de funciones.

Como en casi todos los recursos que se utilizan en matemáticas, hay partes del temario que son más adecuadas para el uso de unos recursos que otras. Por ejemplo, los juegos manipulativos se pueden utilizar en álgebra, números, geometría, etc. pero hay muy pocos juegos para utilizar en el apartado de funciones. Sin embargo, en ese bloque se pueden utilizar otros recursos como la prensa o programas digitales de representación, del estilo de GeoGebra.

Con los pasatiempos suele pasar algo parecido. Encontramos muchos pasatiempos de números o geometría, pero cuesta trabajo encontrar pasatiempos de probabilidad, por ejemplo. A pesar de ello, en este blog ya hemos incluido algunos que podemos englobar en el bloque de azar y combinatoria.

Pero si hay una temática que suele ser complicada de encontrar, en el bloque de los pasatiempos que encontramos en los periódicos y revistas, es el de las funciones. Eso no quiere decir que no los haya, aunque son tan escasos que ni siquiera hemos creado un bloque para ellos, por eso lo incluimos entre los algebraicos.. 

Hoy vamos a presentar un par de ellos, cuyos enunciados podrían aparecer con facilidad en cualquier libro de texto de 3º de ESO.

El primero está recogido de la revista Lecturas, pero no nos queda constancia de la fecha en que salió publicado. Se ve que tiene unos cuantos años porque los datos aún estaban en la moneda antigua.

El segundo ejemplo es más reciente y está tomado del Diario de Sevilla, pero también lamentamos no haber guardado en qué fecha se publicó.

PMP. Juegos numéricos infantiles.

Ya hemos dedicado varias entradas a hablar de los juegos numéricos, la última fue la de título PMP. Juegos numéricos IV. En este tipo de pasatiempos tenemos un dibujo con casillas donde hay que coloar una serie de cifras con determinadas condiciones. Unas veces es que las cifras consecutivas no estén juntas, otras veces es que las sumas las cifras de determinados conjuntos de casillas sumen igual o sumen una serie de números predeterminados, y cosas por el estilo.

En las anteriores entradas, siempre que hemos podido, hemos incluido algún pasatiempo de esa especialidad tomado de las revistas o los suplementos infantiles de los periódicos. En esta ocasión vamos a dedicar la entrada completa a ese nivel educativo.

Los conocimientos matemáticos que se requieren son simples, basta saber sumar para poder resolverlos. Aunque lo anterior no quita que en algunos casos sea complicado encontrar el camino y no ponerse a probar indiscriminadamente, pues así es muy complicado llegar a la solución.

Todos los pasatiempos que vamos a incluir hoy están tomados del suplemento infantil de El Pequeño País, al que nos hemos referido en anteriores entradas. El primer ejemplo, en concreto, está tomado del 26 de marzo de 1995.

Una manera de abordar la solución en el aula es pedir a los alumnos que busquen posibles soluciones de tres números que sumen 18 y, a partir de ellas, ver cuáles podemos mezclar para formar los lados del triángulo.

Como hemos comentado en otras ocasiones, Las posibilidades de algunos pasatiempos matemáticos son muy variadas. A partir de solucionar el desafío planteado, podemos modificar las condiciones para encontrarnos con otros problemas. Por ejemplo, en el anterior podemos proponer la posibilidad de usar los mismos seis números para colocarlos en las casillas de forma que los tres lados sumen lo mismo, aunque no sea 18. Este problema admite cinco soluciones distintas. Se puede investigar cuál es el mayor valor que se puede obtener para la suma, en este caso sería 18, y el cuál el menor.

El segundo ejemplo, aparecido en el diario del 28 de agosto de 1994, también debemos conseguir que las líneas sumen igual, pero en este caso son diámetros de una circunferencia.

Y en el último caso se complica la cuestión pues ahora los resultados a obtener no tienen que valer lo mismo. Este pasatiempo lo recogimos del periódico publicado el 17 de abril de 1988.