PMP. Expresar en otros términos. ¡Vaya lata!

Ya en entradas anteriores hemos trabajado algunos de los heurísticos propios de la Fase de Comprensión. En esta ocasión vamos a ver un ejemplo de como trabajar un pasatiempo para desarrollar el procedimiento de expresar en otros términos.

Las matemáticas son una de las disciplinas en el que es más usual utilizar este heurístico, ya que es corriente que elementos de diverso tipo lo representemos de otra manera para resolver un problema. Y no nos referimos únicamente al álgebra en el que utilizamos letras para representar cantidades que no conocemos. En otros bloques también es útil, a la hora de simplificar la resolución de un problema, cambiar de forma de representar los elementos que manejamos.

En los pasatiempos podemos encontrar con facilidad el procedimiento de expresar en otros términos en los jeroglíficos. Hay muchos de ellos en los que aparecen números que hay que expresar en notación romana para responder a la pregunta que nos hacen y encontrar la solución. Veamos por ejemplo el siguiente.

Basta convertir algunos de los números en su equivalencia en números romanos:

500 = 50 + 0 = L + o = Lo
60 = 6+0 = VI+o = vio
1001 = MI = mi
5 = primo

Como ejemplo de pasatiempo, en el que hay que aplicar el procedimiento de expresar en otros términos, tenemos el siguiente aparecido en la revista QUO en febrero de 1999.

PMP. Sucesión.

Como hemos intentado dejar claro en este blog, los pasatiempos de la prensa, aparte de un entretenimiento lúdico, son de gran utilidad como recurso en nuestras clases de matemáticas. En las entradas que vamos incluyendo pretendemos ver ejemplos variados que podamos utilizar en todos los bloques temáticos de esta asignatura.

Como introducción a las sucesiones y progresiones, que se suelen comenzar en 3º de ESO, siempre nos han servido el bloque de pasatiempos de series. En estos pasatiempos se debe encontrar el término general de una sucesión o, más bien, la regla de formación de los términos para poder escribir el término que sigue.

A veces esa ley de formación es muy simple, como en el siguiente pasatiempo extraído del periódico Canarias7 del 8 de Septiembre de 2002.


En otras ocasiones la regla es más complicada ya que utiliza varias operaciones distintas según el término en el que se encuentre. Veamos un ejemplo tomado de la revista Lecturas del 10 de Agosto de 2001.


En ocasiones se mezclan números y geometría para construir la sucesión buscada, como en este pasatiempo de El País del 20 de Abril de 1986.


A veces hay series que pueden tener distintas reglas de formación, con lo que podemos obtener distintos resultados. Pero eso será para otra ocasión.

PMP. Dolor de cabeza.

Ya hemos comentado en las entradas correspondientes al bloque de la Fase de Ejecución lo importante que es, a la hora de resolver algunos pasatiempos, el sistematizar el trabajo y seguir un riguroso orden.

Esto es especialmente importante cuando nos encontramos con un pasatiempo en el que tenemos que encontrar todas las posibilidades que cumplen una determinada regla. Es corriente que nos encontremos dentro del mundo de la Combinatoria. Como es lógico no se pretende que se utilicen las fórmulas asociadas, si no que en la mayoría de los casos lo que hay que hacer es un recuento sistemático, para lo cuál es ideal trabajar con una estructura en diagrama de árbol.

Eso ocurre en el siguiente pasatiempo tomado del suplemento infantil del periódico ABC del 27 de Diciembre de 1987.


Uno de los problemas típicos de esta parte de las matemáticas es el de los choques entre personas para saber cuantos besos. abrazos, choques de mano o brindis, como en este caso, se han dado. El pasatiempo está tomado del suplemento dominical de El País del 30 de Diciembre de 2007.

Para acabar añadimos otro pasatiempo en el que el seguir un orden preciso es fundamental para encontrar todas las soluciones que faltan. Está tomado del periódico El País del 10 de Febrero de 2001.

PMP. Sumafrutas.

Decíamos ayer.... lo interesante que es la utilización de pasatiempos para adquirir los procedimientos típicos de la resolución de problemas. Ya hemos visto en este blog que hay posibilidad de encontrar pasatiempos en prácticamente todos los bloques temáticos que se desarrollan en Primaria y en la E.S.O.

Vamos a retomar hoy nuestro blog presentando unos pasatiempos que se engloban en la parte de Álgebra.

Todos los profesores somos conscientes de las dificultades que significan para los alumnos el salto a la abstracción necesaria para trabajar con letras. Pedro Puig Adam comentaba en su libro La matemática y su enseñanza actual lo siguiente refiriéndose al uso de letras en lugar de números:
"Es posible hacer sentir como cosa viva la necesidad de su empleo. Debe cuidarse de forma exquisita el método en la iniciación al cálculo literal. Toda formalización y verbalización prematuras y exageradas engendrarán los inevitables errores"

Pensamos que el uso de los pasatiempos algebraicos puede servir para ver esa necesidad de representar mediante letras elementos que no conocemos. Incluso podemos introducir aspectos algebraicos en Primaria, en donde el enfoque sería encontrar elementos que no se conocen dentro de una operación.

Un ejemplo muy típico de pasatiempo algebraico es aquel en el que tenemos distribuidos una serie de elementos en dos columnas, cada uno de ellos con un valor concreto, que no conocemos, y sabemos cuánto vale una operación de esos elementos. Por ejemplo han sido muy típicos en El País, dentro de la sección infantil, los Sumafrutas, como el siguiente aparecido el 30 de Enero de 2005.
Es fácil sustituir las frutas por las iniciales de los nombres y conseguir resolver el problema. En este caso en concreto es posible ir resolviendo el pasatiempo reduciéndolo a problemas más simples. Por ejemplo, hallar el valor de las manzanas utilizando sólo la primera fila. Después calcular el valor del plátano utilizando lo ya hallado y la segunda fila, y así sucesivamente. Estaríamos utilizando un procedimiento típico de la resolución de problemas, el considerar un problema más simple.

En el mismo periódico han sido típicos el mismo pasatiempo pero con una distribución de 6x8, siendo su resolución mucho más complicada.

Otra forma de presentar este tipo de problemas es directamente utilizar letras distribuidas en filas y columnas. Un ejemplo puede ser el siguiente pasatiempo tomado del desaparecido Diario 16.


Como es evidente es complicado afrontar la solución creando un sistema de ocho ecuaciones con ocho incógnitas. Lo usual es encontrar regularidades comparando entre sí las filas y las columnas.

Para terminar esta entrada añadir un pasatiempo de este tipo en el que se utilizan fichas del dominó para plantear el problema. Ya habíamos visto en PMP. Comecocos. Problemino. un pasatiempo en el que se utilizaban fichas del dominó. El pasatiempo apareció en el Diario 16 el 1 de Febrero de 1987.

PMP. Colorear mapas

Situaciones que hace más de un siglo sirvieron de impulso a nuevos descubrimientos y avances matemáticos aparecen actualmente en pasatiempos. Una de estas situaciones es la de colorear mapas con ciertas restricciones.

Colorear un mapa con el mínimo número de colores de forma que países con una línea de frontera (y no únicamente un punto) no tengan el mismo color fue un problema planteado por primera vez por un estudiante de Edimburgo, Francis Guthrie, en 1852. De él llegó a Augustus de Morgan que no supo solucionar el problema, pero extendió el reto entre otros matemáticos. La conjetura de que cuatro colores eran suficientes se hizo célebre cuando Arthur Cayley, en 1878, la propuso a la Sociedad Matemática de Londres, una de las sociedades de matemáticos más importantes del mundo en esa época, como un problema a resolver.

En 1879, el jurista y matemático inglés Sir Alfred Kempe publicó la que él creía ser una demostración, pero años más tarde se encontró un error en su demostración.

No es un problema fácil. A finales del siglo XIX se demostró que cinco colores bastan y que tres colores son insuficientes para colorear cualquier mapa. En 1950 se sabía que si el mapa tenía menos de 36 países se puede colorear con cuatro colores; y en 1976, con ayuda de ordenadores, se concluyó que bastan cuatro colores.

Revista QUO, Diciembre 1996

Investigación:

Vamos a considerar el mapa provincial de España, pero comunidad a comunidad. Y de nuevo con la condición de que dos zonas vecinas no contengan el mismo color.

¿Qué comunidades necesitan sólo un color?

¿Qué comunidades necesitan dos colores?

¿Qué comunidades necesitan tres colores?

¿Qué comunidades necesitan cuatro colores?

Haz primero una estimación y luego ponte a colorear si lo necesitas.

Otro pasatiempo en la misma línea, esta vez de El País Semanal, es el siguiente:

PMP. APUNTEN II

Otro ejemplo de pasatiempos con errata, esta vez en la ilustración, es el siguiente aparecido en El País Pasatiempos en marzo de 1999. Una misma región de la diana aparece con dos valores: 2 y 15 puntos.

Creemos que se trata de una errata pues en realidad no afecta a la solución, basta considerar la siguiente abstracción de ese pasatiempo: ¿Dónde deben dar siete tiros, en una diana con zonas de 2, 3, 9, 15 y 16 puntos, para sumar 100?

Una variante de esta idea apareció posteriormente, también en El País Pasatiempos, y del mismo autor, Guante Blanco. En ella se pregunta por el menor número de disparos para obtener 100.

PMP. Apunten

Algunos tipos de pasatiempos pueden servir como puente para pequeñas investigaciones matemáticas.

Este ejemplo, extraído del Diario 16, es también una muestra de que los pasatiempos pueden contener errores (en los enunciados o en las soluciones). A pesar de indicar que son “DOS” las soluciones que se pueden encontrar con seis impactos, en realidad son seis.

Las investigaciones que se pueden realizar a partir de un enunciado permiten un mayor aprovechamiento de la idea que se está trabajando. En nuestro ejemplo posibles propuestas que se pueden hacer, una vez resuelto el pasatiempo original, son:

a) Encontrar una solución (que es única) con cinco disparos.

b) Encontrar soluciones (hay muchas) con siete disparos, donde se puede partir de las soluciones encontradas con seis disparos.

c) Hallar el máximo número de disparos para conseguir 100 acertando siempre en un número.