PMP. Dolor de cabeza.

Ya hemos comentado en las entradas correspondientes al bloque de la Fase de Ejecución lo importante que es, a la hora de resolver algunos pasatiempos, el sistematizar el trabajo y seguir un riguroso orden.

Esto es especialmente importante cuando nos encontramos con un pasatiempo en el que tenemos que encontrar todas las posibilidades que cumplen una determinada regla. Es corriente que nos encontremos dentro del mundo de la Combinatoria. Como es lógico no se pretende que se utilicen las fórmulas asociadas, si no que en la mayoría de los casos lo que hay que hacer es un recuento sistemático, para lo cuál es ideal trabajar con una estructura en diagrama de árbol.

Eso ocurre en el siguiente pasatiempo tomado del suplemento infantil del periódico ABC del 27 de Diciembre de 1987.


Uno de los problemas típicos de esta parte de las matemáticas es el de los choques entre personas para saber cuantos besos. abrazos, choques de mano o brindis, como en este caso, se han dado. El pasatiempo está tomado del suplemento dominical de El País del 30 de Diciembre de 2007.

Para acabar añadimos otro pasatiempo en el que el seguir un orden preciso es fundamental para encontrar todas las soluciones que faltan. Está tomado del periódico El País del 10 de Febrero de 2001.

PMP. Sumafrutas.

Decíamos ayer.... lo interesante que es la utilización de pasatiempos para adquirir los procedimientos típicos de la resolución de problemas. Ya hemos visto en este blog que hay posibilidad de encontrar pasatiempos en prácticamente todos los bloques temáticos que se desarrollan en Primaria y en la E.S.O.

Vamos a retomar hoy nuestro blog presentando unos pasatiempos que se engloban en la parte de Álgebra.

Todos los profesores somos conscientes de las dificultades que significan para los alumnos el salto a la abstracción necesaria para trabajar con letras. Pedro Puig Adam comentaba en su libro La matemática y su enseñanza actual lo siguiente refiriéndose al uso de letras en lugar de números:
"Es posible hacer sentir como cosa viva la necesidad de su empleo. Debe cuidarse de forma exquisita el método en la iniciación al cálculo literal. Toda formalización y verbalización prematuras y exageradas engendrarán los inevitables errores"

Pensamos que el uso de los pasatiempos algebraicos puede servir para ver esa necesidad de representar mediante letras elementos que no conocemos. Incluso podemos introducir aspectos algebraicos en Primaria, en donde el enfoque sería encontrar elementos que no se conocen dentro de una operación.

Un ejemplo muy típico de pasatiempo algebraico es aquel en el que tenemos distribuidos una serie de elementos en dos columnas, cada uno de ellos con un valor concreto, que no conocemos, y sabemos cuánto vale una operación de esos elementos. Por ejemplo han sido muy típicos en El País, dentro de la sección infantil, los Sumafrutas, como el siguiente aparecido el 30 de Enero de 2005.
Es fácil sustituir las frutas por las iniciales de los nombres y conseguir resolver el problema. En este caso en concreto es posible ir resolviendo el pasatiempo reduciéndolo a problemas más simples. Por ejemplo, hallar el valor de las manzanas utilizando sólo la primera fila. Después calcular el valor del plátano utilizando lo ya hallado y la segunda fila, y así sucesivamente. Estaríamos utilizando un procedimiento típico de la resolución de problemas, el considerar un problema más simple.

En el mismo periódico han sido típicos el mismo pasatiempo pero con una distribución de 6x8, siendo su resolución mucho más complicada.

Otra forma de presentar este tipo de problemas es directamente utilizar letras distribuidas en filas y columnas. Un ejemplo puede ser el siguiente pasatiempo tomado del desaparecido Diario 16.


Como es evidente es complicado afrontar la solución creando un sistema de ocho ecuaciones con ocho incógnitas. Lo usual es encontrar regularidades comparando entre sí las filas y las columnas.

Para terminar esta entrada añadir un pasatiempo de este tipo en el que se utilizan fichas del dominó para plantear el problema. Ya habíamos visto en PMP. Comecocos. Problemino. un pasatiempo en el que se utilizaban fichas del dominó. El pasatiempo apareció en el Diario 16 el 1 de Febrero de 1987.

PMP. Colorear mapas

Situaciones que hace más de un siglo sirvieron de impulso a nuevos descubrimientos y avances matemáticos aparecen actualmente en pasatiempos. Una de estas situaciones es la de colorear mapas con ciertas restricciones.

Colorear un mapa con el mínimo número de colores de forma que países con una línea de frontera (y no únicamente un punto) no tengan el mismo color fue un problema planteado por primera vez por un estudiante de Edimburgo, Francis Guthrie, en 1852. De él llegó a Augustus de Morgan que no supo solucionar el problema, pero extendió el reto entre otros matemáticos. La conjetura de que cuatro colores eran suficientes se hizo célebre cuando Arthur Cayley, en 1878, la propuso a la Sociedad Matemática de Londres, una de las sociedades de matemáticos más importantes del mundo en esa época, como un problema a resolver.

En 1879, el jurista y matemático inglés Sir Alfred Kempe publicó la que él creía ser una demostración, pero años más tarde se encontró un error en su demostración.

No es un problema fácil. A finales del siglo XIX se demostró que cinco colores bastan y que tres colores son insuficientes para colorear cualquier mapa. En 1950 se sabía que si el mapa tenía menos de 36 países se puede colorear con cuatro colores; y en 1976, con ayuda de ordenadores, se concluyó que bastan cuatro colores.

Revista QUO, Diciembre 1996

Investigación:

Vamos a considerar el mapa provincial de España, pero comunidad a comunidad. Y de nuevo con la condición de que dos zonas vecinas no contengan el mismo color.

¿Qué comunidades necesitan sólo un color?

¿Qué comunidades necesitan dos colores?

¿Qué comunidades necesitan tres colores?

¿Qué comunidades necesitan cuatro colores?

Haz primero una estimación y luego ponte a colorear si lo necesitas.

Otro pasatiempo en la misma línea, esta vez de El País Semanal, es el siguiente:

PMP. APUNTEN II

Otro ejemplo de pasatiempos con errata, esta vez en la ilustración, es el siguiente aparecido en El País Pasatiempos en marzo de 1999. Una misma región de la diana aparece con dos valores: 2 y 15 puntos.

Creemos que se trata de una errata pues en realidad no afecta a la solución, basta considerar la siguiente abstracción de ese pasatiempo: ¿Dónde deben dar siete tiros, en una diana con zonas de 2, 3, 9, 15 y 16 puntos, para sumar 100?

Una variante de esta idea apareció posteriormente, también en El País Pasatiempos, y del mismo autor, Guante Blanco. En ella se pregunta por el menor número de disparos para obtener 100.

PMP. Apunten

Algunos tipos de pasatiempos pueden servir como puente para pequeñas investigaciones matemáticas.

Este ejemplo, extraído del Diario 16, es también una muestra de que los pasatiempos pueden contener errores (en los enunciados o en las soluciones). A pesar de indicar que son “DOS” las soluciones que se pueden encontrar con seis impactos, en realidad son seis.

Las investigaciones que se pueden realizar a partir de un enunciado permiten un mayor aprovechamiento de la idea que se está trabajando. En nuestro ejemplo posibles propuestas que se pueden hacer, una vez resuelto el pasatiempo original, son:

a) Encontrar una solución (que es única) con cinco disparos.

b) Encontrar soluciones (hay muchas) con siete disparos, donde se puede partir de las soluciones encontradas con seis disparos.

c) Hallar el máximo número de disparos para conseguir 100 acertando siempre en un número.

PMP. Platos rotos. Goofy carpintero

Define la Real Academia Española la palabra geometría como el estudio de las propiedades y de las medidas de las figuras en el plano o en el espacio.

En realidad las cosas no son tan simples cuando se profundiza un poco y superamos la epidermis de las ideas; si no vean en el blog Tío Petros de Jesús M. Landart la entrada Definición de geometría.

En la entrada Piezas Sueltas se trataba el reconocimiento de figuras, situación no siempre fácil.

Otro aspecto relacionado con las formas es el de unir piezas que forman un objeto determinado. Los dos siguientes pasatiempos pertenecen a esta categoría.

Abecelandia 17/03/96

Aunque también entre los pasatiempos infantiles podemos complicar la completitud si introducimos las tres dimensiones, como en el caso siguiente, donde se pregunta sobre el números cubos que se pueden formar con los distintos trozos de madera.

Mi País, 06/11/99

PMP. Sudoku con puntas

El que haya 67 700 000 entradas en Google, hoy 1 de febrero de 2008 a las 16.15 horas, con la palabra Sudoku, dan una idea de la globalización de este pasatiempo. En español 786 000.

En wikipedia se dice que, originario de Estados Unidos en 1979, el Sudoku se hizo mayor en Japón en 1986 e internacionalmente popular a partir de 2005. La idea corresponde a Howard Garns y nació con el nombre de Number Place (el lugar de los números).

Posteriormente, la editorial Nikoli lo exportó a Japón, publicándolo en el periódico Monthly Nikolist en abril de 1984 bajo el título "Sūji wa dokushin ni kagiru", que se puede traducir como "los números deben estar solos". Fue Kaji Maki, presidente de Nikoli, quien le puso el nombre, que posteriormente se abrevió a Sūdoku (sū = número, doku = solo).

Los siguientes pasatiempos son una variante del Sudoku, llamada Sudoku con puntas, publicada en El Pequeño País en octubre y diciembre de 2007, respectivamente. Su autor es Antonio G. de Santiago.

En Su.doku.es puede encontrarse información muy curiosa e interesante sobre el mundo de los Sudokus.