domingo, 18 de septiembre de 2016

PMP. Calibrando balanzas.

Los problemas recreativos de balanzas han formado parte, en muchas ocasiones, del álgebra elemental. En general, nos encontramos con un reto en el que sabemos cómo quedan niveladas una serie de elementos en los platillos de la balanza, y de esa información hay que extraer la equivalencia de los pesos de esos elementos para resolver un reto propuesto. Unos ejemplos de este tipo de retos los pueden encontrar en la entrada que hace más de tres años llamamos PMP. Balanzas.

Hoy vamos a ver unos pasatiempos que son un poco más complicados que los que hemos comentado en el párrafo anterior. Están tomados todos del diario La Vanguardia, del suplemento sabatino de ciencia que aparecía en la década de los 90, y en concreto de la sección que dirigía Jordi Deulofeu y a la que nos hemos referido aquí en varias ocasiones de Para pensar de un minuto a una hora.

En particular, las tres propuestas de hoy están sacadas de la sección del mismo día, el 12 de octubre de 1991.


Vemos que la primera toma tangencialmente el tema de las balanzas, pues es una propuesta similar a si queremos calcular el mínimo número de billetes distintos necesarios para pagar una determinada cantidad. Aquí la dificultad es el límite de 121 gramos que se nos proponen, y sobretodo la generalización a n gramos.

La segunda propuesta, como vemos, es más clásica, pues es un problema básicamente de lógica, de como sacar información del desnivel de la balanza. Lo mismo ocurre con el tercer enunciado.


domingo, 11 de septiembre de 2016

PMP. Unir con su pieza coirrespondiente.

Entre los pasatiempos geométricos, sobretodo en los infantiles, suele ser muy corriente el reconocer figuras geométricas. Si ese enfoque lo ampliamos, nos encontramos con toda una colección de pasatiempos en que debemos reconocer figuras, encontrar figuras que son similares, contar cuántas figuras hay de una determinada característica, por ejemplo, triángulos en una estrella pitagórica, y cosas similares.

En particular, una de las formas de plantear este tipo de retos es dividir una figura en dos de forma muy intrincada, y saber como recomponerla. En muchos de ellos, nos dan un trozo de pieza y varios otros que la complementarían y la dificultad está en encontrar cuál de las propuestas muy parecidas, es exactamente la que completa la pieza. De este tipo vamos a ver hoy varios ejemplos.

El primero es un pasatiempo típico de los apartados infantiles, donde hay que reconocer cuál es la pieza propuesta que, supuestamente, se ha sacado de otra mayor. El siguiente ejemplo está tomado del Diario16 del 3 de julio de 1988.


A veces, no es la forma lo que nos da indicación de cuál es la solución pues en todas las propuestas es la misma. Lo que varía es la textura del dibujo que lo forman. Un ejemplo es el siguiente tomado de la revista QUO de octubre de 1998.


La propuesta no tiene porqué ser siempre plana. Existen pasatiempos tridimensionales con lo que aumenta la dificultad de tener sólo una visión parcial de la pieza. Este ejemplo está tomado también de la revista QUO de un monográfico de pasatiempos de Otoño de 2000.


domingo, 4 de septiembre de 2016

PMP. Localizar lo oculto.

Hay muchos juegos en que el reto consiste en descubrir donde hay colocados una serie de elementos cuando tenemos información, de alguna manera, sobre donde están colocados mediante señalización de cuantos elementos están en determinadas filas o columnas.

El ejemplo más evidente de este tipo de problema sería el juego del buscaminas, al que seguramente la mayoría habremos jugado en alguna ocasión. Entre los pasatiempos podemos encontrar también ese tipo de propuestas. 

A veces, tenemos un tablero en el que, en algunas casillas nos indican cuantos elementos buscados hay alrededor, como en el siguiente tomado del suplemento Pequeño País, como los restantes de la entrada de hoy. En particular, éste está recogido el 19 de marzo de 2006.


En otras ocasiones lo que tenemos es información mediante las líneas que forman el tablero, como en el siguiente que apareció el 6 de noviembre de 2005.


Los dos anteriores son equivalentes al buscaminas, del que hablábamos antes, pero otro juego muy tradicional es el juego de los barcos. En éste último, del 27 de junio de 2004, lo que hay que recomponer es la situación de los barcos, con información parecida al anterior.


domingo, 28 de agosto de 2016

PMP. Más MATEMÁGICAS numéricas.

Entre los pasatiempos numéricos, sobretodo en los infantiles, suelen aparecer de vez en cuando propuestas que no son en sí un pasatiempo, sino que es la explicación de un truco numérico para hacer magia con los amigos y familiares.

Ya el año pasado incluimos la entrada PMP. MATEMÁGICAS numéricas en donde planteamos una serie de enunciados con estas posibilidades. 

Lo normal es encontrar enunciados con fundamento algebraico, es decir, aquellos que plantean pensar un número, hacer una serie de operaciones y al final, el mago realizando una operación simple, descubre el número pensado. Pero también podemos encontrar planteamientos mucho más interesantes, como los que vamos a proponer hoy.

En el primero, tenemos que encontrar tres números después de hacer una serie de operaciones con la calculadora. Cuando nosotros hacemos este truco en espectáculos de magia, los números suelen ser el resultado de tres dados y de las operaciones, dos las hacen alguien del público y la última el mago.

El enunciado está tomado del suplemento El Pequeño País, como los restantes, en concreto del 11 de septiembre de 2005.


El segundo es uno que suele encontrarse en varios lugares y que consiste en realizar una serie de operaciones que siempre dan como resultado 1089, independientemente del número con que se empiece. La puesta en escena en este truco es fundamental pues se puede dejar al auditorio realmente asombrado. Es un pasatiempo aparecido 12 de enero de 1992.


Para acabar el de las tarjetas mágicas, que da mucho juego y pueden variarse tanto el número de tarjetas como el tipo de tarjetas. Estas que vienen en el enunciado están construidas utilizando el sistema binario, pero se pueden varias a otros sistemas numéricos. Es del 3 de julio de 1993.


Hay que tener en cuenta que no todos los pasatiempos dedicados a matemágicas tienen por qué ser numéricos. Ya este mismo año dedicamos una entrada a trucos donde se utilizaban conceptos topológicos. Pueden consultarla en PMP. Magia topológica.

domingo, 21 de agosto de 2016

PMP. Laberinto circular.

Dentro de los pasatiempos, como hemos indicado en otras ocasiones, se pueden encontrar retos que son totalmente matemáticos, ya que tienen números, expresiones algebraicas o figuras geométricas, entre otros temas. Pero dentro de los mismos pasatiempos podemos encontrarnos otros que, aunque no figuren exactamente esos elementos, al resolverlos tenemos que aplicar razonamientos lógicos y matemáticos. Por poner un ejemplo, en los pasatiempos de tipo laberinto, que vamos a tratar hoy, aunque sólo haya que encontrar un camino, podemos utilizar varios heurísticos típicos de la resolución de problemas. Así es un buen método para resolver pasatiempos el comenzar por el final y deshacer el camino inverso, lo que equivaldría a considerar resuelto el problema y deshacer el camino inverso al de la resolución.

En los pasatiempos sobre laberintos solemos encontrarnos los más infantiles en los que hay una serie de caminos que se entrecruzan para encontrar cuál es el que lleva a un determinado final, y los que son de forma rectangular donde hay que recorrer una serie de caminos para enlazar la entrada y la salida. Hoy vamos a incluir una serie de enunciado en el que el laberinto tiene forma circular o radial dentro de un círculo.

El primero está tomado del suplemento Aula que aparecía con el periódico El Mundo. En concreto, el que incluimos es del 10 de diciembre de 2004. En él nos obligan a movernos según un patrón fijado.


Los dos siguientes están tomados de la revista QUO, de números del año 1998. El primero apareció en el número 28 de enero. Aunque es circular la imagen, realmente simula una tradicional máquina de pinball.


El siguiente fue en el número 33 de junio. En éste el objetivo es lograr el nombre de un actor y no nos indican por donde debemos empezar.


lunes, 15 de agosto de 2016

PMP. Azar en un minuto.

Los que nos dedicamos a las matemáticas sabemos que uno de los apartados de esa materia que suele ser más complicado es el del azar. En cuanto nos salimos de los problemas básicos de aplicación de la Regla de Laplace, enseguida nos podemos encontrar con dificultades e incluso paradojas probabilísticas que nos hacen dudar de nuestra propia resolución. 

Los que llevamos mucho tiempo dedicado a la enseñanza también sabemos que este apartado del azar es el más castigado en los currículum. No sabemos si por estar al final del libro o debido a la dificultad que comentamos antes, lo cierto es que muchos profesores no consiguen nunca llegar a impartir ese bloque temático. Se ve que debe ser de menor calidad ya que ningún profesor permitiría no llegar a dar completo el bloque de álgebra, pero muchos no tienen ningún reparo en saltarse el bloque de estadística y azar sin el más mínimo pesar. Quizás debido a esto, nuestra sociedad tiene grandes dificultades con las leyes de la probabilidad, por lo que así se explica la gran cantidad de personas que derrocha constantemente su dinero en juegos de azar.

Esta dificultad del bloque probabilístico hace que sean pocos los pasatiempos que podemos encontrarnos dedicados a esta temática. Además, no es raro que se encuentren los mismos retos, modificando su redacción, en distintos medios.

Hace casi dos años publicamos una entrada con el título PMP. Probabilidad en un minuto, donde recogíamos una serie de propuestas probabilísticas tomadas de la sección Para pensar de un minuto a una hora, publicada en el diario La Vanguardia y coordinada por el profesor Jordi Deulofeu. La sección se estuvo publicando desde marzo de 1991 hasta 1996. Sin embargo, esta sección vino a sustituir a otra que se estaba publicando, al menos, desde el año 1989 con el título de Para pensar un minuto, aunque no hemos descubierto quien era la persona que se encargaba de ella.

En esta sección se solía presentar un reto con el supuesto inicial de que se podía resolver rápidamente, por ello, en las primeras entregas de las que disponemos, aparecía la solución inmediatamente después de la propuesta. Con el tiempo la respuesta salía con la entrega del sábado siguiente.

Aunque lo usual era que sólo apareciera una propuesta, a veces, aparecían varios enunciados sobre la misma temática. Eso es lo que ocurrió en la sección del 14 de abril de 1990 en la que se propusieron hasta seis retos probabilísticos de los que vamos a incluir tres en esta entrada.


El primer enunciado, como vemos, es totalmente de actualidad. Sin embargo, en el segundo caso vemos que es antiguo al utilizar las antiguas monedas de pesetas. Para trabajarlo didácticamente es interesante estudiar como habría que modificar las cantidades de apuestas y premios, ya en euros, para que fuese un juego imparcial.


Alguno de los restantes enunciados se situaban en un contexto histórico, hablando de errores cometidos en los inicios de esta rama de las matemáticas. Lo que no podía faltar era uno relacionado con una de los principales herramientas para el azar, la baraja de cartas.


domingo, 7 de agosto de 2016

Ampliación. Los pasatiempos veraniegos de El País.

Las fechas estivales se asocian a los pasatiempos. Aunque las nuevas tecnologías han revolucionado la forma de disfrutar del tiempo libre, se suele relacionar la época estival con las vacaciones en los estudios y trabajo. Esto suele llevar apareado el tener más tiempo para dedicar a descansar y al ocio. Aunque hay personas que solemos resolver pasatiempos en toda época del año, hay muchas personas que es en esta época cuando los retoman y disfrutan de ellos. Esto no pasa inadvertido para las editoriales y así es posible encontrar en los quioscos de prensa cada vez más cuadernillos de pasatiempos, pero también las revistas de todo tipo suelen ampliar el número de propuestas usuales que incluyen en sus páginas.

Con los diarios pasa igual. Hay algunos que sacan páginas extras dedicadas a pasatiempos ajustados a sus líneas editoriales, como hemos encontrado muchas veces en los periódicos deportivos. En alguno de los periódicos suele ocurrir lo mismo, como por ejemplo, con El País. Tengo que reconocer que de la media docena de diarios que he consultado, sólo en El País he encontrado más diversidad de pasatiempos, algo que suele ser corriente en el mes de agosto. Además, tiene la característica de que, aunque hay pasatiempos que se repiten diariamente como el crucigrama o el sudoku, los restantes varían de unos días a otros.

Durante esta primera semana de agosto he estado pendiente del periódico y he encontrado una gran variedad de pasatiempos que pueden ser útiles desde el punto de vista de la didáctica de la matemática. Aparte de los usuales crucigramas, palabras encadenadas, sopas de letras y jeroglíficos, podemos encontrar sudokus, kakuros o kenken, de los que ya hemos hablado en estas páginas. Pero veamos que otras cosas podemos encontrar.

En primer lugar, existen series que, aunque no sean numéricas, siguen el mismo procedimiento que ellas. Por ejemplo, la siguiente que apareció en el periódico del 3 de agosto.


Otro pasatiempo que da mucho juego en clase, sobretodo modificándolo a nuestro gusto, son las pirámides numéricas. La siguiente apareció el jueves 4.


Ayer mismo, sábado 6, encontré un pasatiempo del que no había tenido noticia anteriormente. Me refiero al Hidato que, aunque por su nombre parece japonés, es un puzzle inventado por el matemático israelí Gyora Benedek, y al que le dedicaremos más adelante una entra concreta. Consiste en rellenar una serie de casilla con números de forma que todos estén consecutivos. En esa línea vimos varios ejemplos en la entrada PMP. Por todas las casillas, aparecida hace un par de meses. La única diferencia es que los números pueden ser consecutivos no solo vertical y horizontalmente, si no también en diagonal.


Por último, otro pasatiempo que no es muy corriente es el rascacielos, aunque es un reto que nosotros llevamos años utilizando en nuestras actividades de matemáticas en la calle, aunque de una forma manipulativa. El que recojo aquí es del diario del 4 de agosto.


En todos los casos, para ver mejor el pasatiempo basta pulsar sobre él.