domingo, 7 de abril de 2019

PMP. Dividir en partes con figuras

Una de las últimas entregas del año pasado fue un tipo de pasatiempo muy corriente entre el grupo geométrico. Consiste en tener una superficie y dividirla en partes. Unas veces tienen que ser partes que tengan la misma forma exactamente y otras basta que tengan la misma superficie. Una manera de complicar el reto consiste en colocar elementos dentro de la zona a dividir y pedir que las divisiones tengan todas el mismo tipo y número de elementos. Eso lo vimos en la entrada PMP. Dividir agrupando.

Hoy vamos a presentar un bloque de actividades del mismo tipo. En este caso todas las regiones a dividir son rectangulares, por lo que el dibujo del terreno a dividir no presenta recovecos extraños como en otras ocasiones.

El primer ejemplo, apareció en el Diario de Sevilla el 7 de agosto de 2011.

En este caso nos habla de un terreno idéntico para todas las casas. En este tipo de problemas lo mejor es cuadricular el terreno y buscar entonces las formas que permiten dar respuesta a lo plateado.

El segundo ejemplo de hoy, tomado del País del 2 de agosto de 1998, plantea dividir un cuadrado en dos partes iguales con las condiciones restrictivas que se indican.


Para terminar, ofrecemos un pasatiempo recogido de la revista Muy Interesante de diciembre del 1999. En este caso no nos indican que las partes deban tener exactamente la misma forma, aunque se deduce que deben tener la misma superficie por estar formadas, cada una de las partes, por seis cuadraditos con frutas.



domingo, 24 de febrero de 2019

Ampliación. ¡Ojo con las soluciones!

Ya hemos comentado en otras ocasiones que hay que tener mucho cuidado, cuando encontramos un pasatiempo, que nos interese para nuestra aula, con la solución que se nos aporta. Nosotros llevamos muchos años coleccionando pasatiempos y, en la mayoría de las ocasiones no guardamos la solución, salvo que pensemos que puede darnos problemas.

A veces, algunos de nuestros lectores nos escriben consultándonos la solución de algún pasatiempo concreto del que puede que no tengamos la solución y que, a pesar del esfuerzo gastado, no consigamos encontrar la solución. En la mayoría de los casos es porque suele haber un error en el enunciado del pasatiempo. Eso puede incluso ocurrir cuando tengamos la solución, que no coincida con el enunciado. En esos casos lo que solemos hacer es modificar el enunciado de forma que si se tenga solución para el nuevo reto. Incluso a veces, hemos trabajado con los alumnos dándole un enunciado y pidiéndoles que lo modifiquen lo mínimo posible para que la solución sea otra distinta de la que era inicialmente.

En otras ocasiones, las soluciones que aparecen al final del periódico o revista no es correcta. Por ejemplo, en los pasatiempos infantiles nos encontramos con expresiones numéricas cuya solución no respeta la jerarquía de operaciones, o se piden soluciones y hay más de las previstas pues se olvidan de situaciones límite que también son válidas, en los pasatiempos de azar se pueden encontrar verdaderas barbaridades.

Pero uno de los errores más corrientes lo podemos encontrar en los pasatiempos de geometría en los que hay que contar figuras. No es raro encontrar soluciones en los que hay errores pues hay distribuciones correctas que no se tienen en cuenta. Sobre este tipo de error es el que vamos a poner hoy el ejemplo.

En una serie de cuadernillos del Pequeño País que hemos encontrado recientemente en un mercadillo, encontramos el siguiente pasatiempo de palillos sacado en este caso del suplemento aparecido el 7 de enero de 1996.


En este pasatiempo se puede observar que en el enunciado se piden encontrar una serie de cuadrados de distintos tamaños. El problema es que al visionar la solución nos encontramos con un fallo.


Como se puede apreciar, la solución es la lógica, pero el problema es que en ese dibujo se pueden ver fácilmente tres cuadrados grandes y no solo dos, por lo que el enunciado es incorrecto.

domingo, 17 de febrero de 2019

PMP. Sujico 10

Los estudios Kobayaashi son creadores de pasatiempos con mucho atractivo. En concreto son los creadores de los pasatiempos Suko y Sujiko que comenzaron a publicarse en el Reino Unido en 2011 y se han extendido por multitud de países. El desarrollador de estos juegos ha sido Jai Kobayaashi Gomer, creador de muchos otros juegos.

Ya dedicamos hace unos años una entrada a este tipo de juegos pues son corrientes en uno de los periódicos de nuestra ciudad, el Diario de Sevilla. En ese diario, suele aparecer diariamente un Sudoku y se complementa con otros pasatiempos como el Suko y el Sujiko. En esa entrada hablábamos de otro de los pasatiempos que aparece, en la misma línea y que se llama Sujico 10. No hemos sido capaces de encontrar información sobre éste pasatiempo, pero suponemos que habrá salido del mismo lugar, aunque en su página no hemos encontrado referencia a él.

Básicamente, el pasatiempo Sujico 10 consiste en colocar las cifras del 1 al 10 de formando casillas y para ello conocemos el valor de la suma de algunas de las casillas y tenemos la posición de alguno de esos valores. En general, se parte con la mitad de valores ya situados. En la imagen siguiente tenemos un ejemplo tomado de Diario de Sevilla del 4 de junio de 2017.


Inicialmente puede parecer complicado resolverlo y que lo que se tiene que hacer es, mediante ensayo y error, probar los números que faltan. Pero basta aplicar la lógica para ver que el pasatiempo es trivial.

Basta saber que la suma de los números del 1 al 10 es 55, por lo que la suma de todos los números de las casillas debe ser, precisamente 55. Si nos fijamos, por ejemplo, en las cuatro primeras casillas y en las cuatro siguientes, podemos comprobar que la suma de las ocho primeras es 44, queda por tanto 11 para las dos últimas cifras. Como aparece un 7, a su derecha tiene que ir el 4. Y una vez puesto ese valor los demás salen en cascada.


Si ese mismo razonamiento se lleva a las cuatro primeras casillas y a las cuatro últimas, nos sale el valor de la suma de las dos casillas centrales. También podemos hacer lo mismo para las dos primeras.

Hace un mes escribimos una entrada sobre como modificar un pasatiempo, en ese caso una pirámide numérica, para modificar el problema y cambiar su dificultad. Vamos a ver que en este caso podemos hacer lo mismo.

Podemos eliminar información del pasatiempo y aumentar su dificultad. Por ejemplo, la siguiente imagen nos plantea un Sujico 10 con una sola información, en lo que respecta a los números puestos en sus casillas.

Aunque pueda parecer imposible, podemos decir que existe una única solución, si consideramos que no importa el orden en el que se colocan los números en cada fila. Es decir, si por ejemplo en las dos casillas inferiores fueran el 4 y el 7, para nosotros será lo mismo poner 4 y 7 que 7 y 4. Es la misma solución.

El hecho de que no aparezcan todos los valores puede complicar la solución si hace aparecer más de una solución. Por ejemplo, en el siguiente reto se pueden encontrar dos soluciones. Como en todos los casos que veremos, cuando falten dos números en la misma fila consideraremos que es la misma solución independientemente del orden en el que se coloquen los dos números.


En el siguiente caso, también tenemos varias soluciones, al menos yo tengo dos. Tal como dijimos antes, consideramos la misma solución si los números que aparecen en las dos casillas superiores están en un orden o en otro. Vemos que en este caso lo que hemos eliminado es el valor de la suma de cuatro de las casillas. En este caso, en las dos soluciones el valor central de la suma es distinto en los dos casos.

Para acabar, podemos plantear un cuadro aún con menos información como el siguiente. Aquí hay más de dos soluciones. ¡Hala, a entretenerse!








domingo, 3 de febrero de 2019

Ampliación. Otra de pasatiempos en inglés

Como hemos indicado en otras ocasiones, nuestro interés en encontrar pasatiempos que puedan ser usados en el aula de matemáticas como un recurso lúdico y atractivo, pero que sirvan para tratar aspectos conceptuales o metodológicos de los que debemos trabajar en clase.

Para ello, estamos siempre buscando nuevas fuentes de pasatiempos en lugares que no habíamos previsto hasta el momento. Esto es debido a que en muchos periódicos y revistas han desaparecido la gran variedad de pasatiempos matemáticos desde la irrupción del bloque japonés de pasatiempos y todos los que se han creado siguiendo su estela.

En esta ocasión nos vamos a referir a una revista que no se nos había ocurrido que pudiese tener pasatiempos interesantes. Nos estamos refiriendo a la revista Reader' Digest de la encontramos un número de su versión original en inglés. En esta revista, de marzo de 2015, encontramos un bloque de pasatiempos en los que todos eran de alguno de los tipos que ya hemos reseñado en estas páginas. Como además están en inglés y creemos que pueden ser muy útiles para los centros educativos bilingües, realizamos hoy una nueva entrega con todas las propuestas que aparecían en esa revista.

En el primer caso tenemos un ejemplo de desarrollos de cubos en el que hay que reconocer cuál es el desarrollo adecuado a un cubo dibujado.


En el segundo caso tenemos una serie. Tenemos ordenadas una serie de figuras y debemos encontrar cuál es la que sigue, de entre varias ofertas.


A continuación, vemos uno de números en el que aparece una expresión en la que han desaparecido las operaciones que permiten llegar a la solución.


Para trabajar el tema de la simetría podemos utilizar el siguiente pasatiempo.


Para acabar, uno clásico de contar cuantas figuras geométricas se pueden localizar en una intrincada figura.

En este caso concreto nos parece más interesante contar el número de triángulos, aunque el número se dispare con respecto al de cuadrados.

domingo, 20 de enero de 2019

PMP. Adaptando una pirámide.

Dentro de los pasatiempos numéricos, existen varios para trabajar el tema de la divisibilidad y la descomposición en factores de números naturales. Dentro de este bloque de pasatiempos, uno que he utilizado con profusión en mis clases de secundaria, incluyendo las pruebas escritas, ha sido la pirámide de números.

El tipo de pasatiempo al que me refiero se puede ver en el siguiente ejemplo tomado del periódico Diario 16, aunque no me queda constancia de la fecha exacta en que apareció. En él hay que colocar los números indicados en los círculos de forma que el número interior de cada triángulo sea el producto de los números de los tres vértices de ese triángulo.

Aunque al principio puede parecer complicado, es normalmente fácil de resolver, comenzando con las casillas donde tienen que ir el 5 y el 7, pues los números que están alrededor de esas casillas deben ser todos múltiplos del primero o del segundo, según donde lo coloquemos.

Tiene además la ventaja que es muy fácil crear uno a nuestro gusto. Para ello basta crear la rejilla, colocar los números que queramos situar en los círculos y calcular el producto de ellos. El último paso es quitar los valores de los círculos y ya tenemos el pasatiempo preparado.

En la imagen siguiente tienen ustedes una modificación utilizando las cifras del 1 al 9 sin repetir ninguna.

La dificultad se puede nivelar como se quiera, especialmente si quitamos resultados para complicarlo o añadimos algunos de los valores en los círculos para simplificar el cálculo. Mientras más valores repetidos aparezcan más se puede complicar la resolución, sobretodo al principio.

Durante este curso se está celebrando en mi instituto, el IES Macarena de Sevilla, un concurso de ingenio y una de las pruebas propuestas este año ha sido la de colocar todos los números del 1 al 10 en la siguiente pirámide para que se cumpla que los números interiores sean el producto de los tres que le rodean en los vértices del triángulo.

Esta pirámide tiene la peculiaridad de tener tres soluciones distintas. En el concurso se pedía aquella solución donde se cumplía que ninguno de los números interiores a los triángulos se repetían. Esta condición convertía la solución en única.







domingo, 6 de enero de 2019

PMP. Para comenzar el año

Como esta es la primera entrega del nuevo año, queremos presentar una actividad que solemos usar mucho en clase para repasar las operaciones numéricas básicas y que suele darnos mucho juego.

El reto de hoy se basa en una actividad que suele ser muy corriente en las páginas de matemáticas recreativas y, por tanto, en los pasatiempos.

Nos referimos a un problema en el que nos dan una serie de cifras y utilizando las operaciones aritméticas debemos obtener una determinada solución. En cierta manera, era uno de los apartados del célebre programa televisivo Cifras y letras. A este tipo de pasatiempo ya dedicamos, hace unos años, una entrada con el título PMP. Con cifras iguales.

Hoy nos vamos a referir a una versión muy particular de ese rompecabezas que consiste en utilizar una sola vez todas las cifras del 1 al 9 para conseguir el número 100. Este problema se puede encontrar en los pasatiempos de la prensa, como en el siguiente tomado del suplemento Pequeño País del 21 de abril de 1996.


Como se puede apreciar en el enunciado, se plantea que las cifras tienen que estar numeradas del 1 al 9. Cuando nosotros comenzamos con este tipo de actividad no planteamos esa restricción, únicamente exigimos que estén todas las cifras una sola vez.

Pero lo que nos gusta es adaptar la misma actividad a otros supuestos. Cada año, al comenzar, siempre proponemos a los alumnos que nos consigan el número correspondiente al año actual utilizando las nueve cifras. Se pueden utilizar sumas, restas, productos, divisiones, potencias y por supuesto paréntesis. También pueden agruparse las cifras para conseguir números de más de una cifra. Si el curso de los alumnos es un poco más elevado podemos llegar a permitir hasta raices y radicales pero teniendo en cuenta que la base también se cuenta entre las cifras utilizadas.

Para presentar un ejemplo de como sería conseguir el 2019 con estas condiciones, a continuación colocamos una serie de soluciones posibles.

Lo normal es que lo más complicado sea conseguir una solución en el que las cifras estén ordenadas, como en el pasatiempo inicial, aunque da igual que estén ordenadas de mayor a menor o al revés. A continuación, tienen ustedes dos ejemplos.

Puede pensarse que este es un ejercicio complicado, y es normal que al comenzar cueste encontrar alguna solución, Pero a medida que encontramos alguna, la cosa suele mejorarse pues, a veces, una solución nos da idea para, con pequeños cambios, conseguir otra solución. En el año 2000 presentamos un panel en un congreso de matemáticas y lanzamos el reto de conseguir 2000 soluciones para hallar el número 2000 con las condiciones planteadas. Podemos decir que superamos sin dificultad el límite planteado.

domingo, 30 de diciembre de 2018

PMP. La estrella perdida.

Uno de los grandes creadores de pasatiempos del siglo XIX fue el norteamericano Sam Loyd. Ya nos hemos referido en otras ocasiones a su magna enciclopedia de 5000 puzles, acertijos y trucos. Uno de ellos, que se puede encontrar con facilidad repetido en multitud de páginas, es la de localizar una estrella de cinco puntas perdida en un puzle de figuras geométricas de distintas texturas. A continuación, tenemos una imagen del acertijo original.


La dificultad reside en con la mera observación ser capaz de encontrar la estrella pues está muy bien camuflada entre los triángulos y cuadriláteros que forman el dibujo. La primera vez que se observa el dibujo es muy complicado encontrarla con facilidad.
 
Inspirado en este pasatiempo se pueden encontrar estructuras similares en otros lugares, veamos hoy un par de ejemplos.

El primer ejemplo está tomado del suplemento Pequeño País aparecido en la década de los 80, aunque no guardamos la fecha exacta.


El segundo proviene de la revista QUO de septiembre de 1998, en la que ya no hay que descubrir una estrella sino otra figura que nos indican, no necesariamente en la misma posición en que se encuentra.