PMP. PLANIFICACIÓN: Comenzar por el final.

Dentro de las cuatro fase típicas de la resolución de un problema, según Polya, la segunda fase corresponde a la planificación. En ella, se deben de resolver cuestiones sobre la utilidad de los datos que aparecen en el enunciado del problema, qué puede calcularse a partir de ellos y sobretodo qué camino es el más eficiente para abordar la resolución del problema.

Dentro de los heurísticos que pueden aplicar en esta fase, y de los que ya habíamos hablado en la entrada PMP. Tantear, recortar dividir, uno de los que se utiliza en una serie de problemas determinados es el de considerar que el problema está resuelto o empezar la resolución desde el final.

Este método de resolución consiste en suponer que tenemos la solución final y deshacemos el camino que ha llevado a ella para encontrar el punto de partida, que es lo que vamos buscando.

El primer ejemplo que vamos a presentar de este heurístico está tomado de la colección de problemas que organizó la revista Marca, junto con McDonalds, con motivo del mundial de futbol de 1998 celebrado en Francia.

 

El segundo está tomado de la sección de Filoenigmas que se publicaba en el Diario de Sevilla, aunque el mismo tipo de cuestiones la hemos encontrado en muchos otros diarios regionales y locales. En esta ocasión está tomado del diario del 9 de febrero de 2004.

PMP. Jeroglíficos infantiles

Hace casi tres años, cuando publicamos la primera entrada sobre jeroglíficos matemáticos con el título PMP. Jeroglíficos, ya comentamos que aunque los jeroglíficos los hay de muy distinto nivel de dificultad, era posible encontrar jeroglíficos de este tipo dirigido a un público infantil, y que a veces se encuentran en los apartados de los diarios del fin de semana dedicados a los más pequeños, o en revistas infantiles y juveniles. En este tipo de pasatiempos nos encontramos con la peculiaridad de que los contenidos matemáticos que pueden utilizarse son muy escasos, por ello, suelen catalogarse como fáciles, aunque quizás para el público al que va dirigido no lo es tanto.

En el primero que incluimos, tomado del diario El País del 14 de septiembre de 1997, más que un jeroglífico estándar, se incluye una ordenación y el reconocimiento de figuras geométricas, que nos debe llevar a la palabra buscada.

El siguiente, también tomado de El País, aunque en esta ocasión del 5 de mayo de 1996, tenemos que buscar un personaje famoso, que ya intentamos descubrir en el pasatiempo de la anterior entrega, a partir de un trabalenguas.

Y por último, de la revista Mister K del 6 de mayo de 2005, extraemos el siguiente jeroglífico que se ajusta más a las pautas de lo que entendemos como ese tipo de pasatiempo.

PMP. Escalera lógica

Dentro de los pasatiempos de series, ya sabemos que hay que encontrar una regla de formación con los elementos que conocemos y encontrar cuál es el que sigue. A veces, como los que vimos en la entrada PMP. Series con dibujos, se nos indican algunos opciones entre las que tenemos que elegir la correcta. Pero la mayoría de las veces tenemos que encontrar la ley de formación e indicar cuál es el elemento que sigue según esa ley.

El problema se plantea cuando en una misma serie hay diversas leyes de formación, pues aparecen elementos mezclados y cada uno sigue una ley diferente. Eso suele ocurrir en los pasatiempos que aparecían en El País dentro de la sección Escalera lógica, que firmaba Jurjo, como otras muchas series de excelentes pasatiempos.

A veces, aparecían varios números y cada uno de ellos tenía una ley de formación diferente, como ocurre en el siguiente tomado, como los demás de El País, del 18 de diciembre de 1999.

A continuación, tenemos uno en el que se mezclan una serie de números y letras, pero que están relacionados entre sí. Está tomado del periódico del 21 de Septiembre de 1997.

A veces se mezclaban números y figuras geométricas, como en el siguiente, tomado del 26 de abril de 1998 y en el que hay tres series diferentes.

Para terminar incluimos uno en el que no aparecen números, solo símbolos, pero cuya resolución tiene el mismo heurístico. Está tomado del diario del 15 de febrero de 1998.

PMP. Camino incierto.

En la historia de las matemáticas se pueden encontrar situaciones, problemas o acertijos que dan lugar a crear partes nuevas de esa ciencia. Uno de los casos más evidente es el Problema de los Puentes de Köninsberg.

La ciudad prusiana de Köninsberg, la actual ciudad rusa de Kaliningrado, es atravesada por el rio Pregel. Entre otras personalidasdes es la patria del filósofo Kant y del matemático David Hilbert. En el siglo XVIII las zonas de la ciudad que estaban divididas por el rio, que formaba una isla llamaba Kneiphor, estaban unidas por siete puentes tal como se ve en la imagen que representa la ciudad con los puentes que había en esa época. Uno de los pasatiempos de los lugareños consistía en pasear por la ciudad de forma que se pasaran por todos los puentes. Había planteada una discusión pues había personas que defendían que se podía pasar por todos los puentes sin repetir ninguno y otras defendían lo contrario.

Imagen tomada de la wikipedia

En 1736, el matemático alemán Leonard Euler demostró que era imposible pasar una sola vez por todos los puentes y volver al punto de partida. Este problema significó la creación de la Teoría de Grafos, de gran aplicación en nuestra vida actual.

Es posible encontrar pasatiempos inspirados en este problema, como los que vamos a presentar hoy. Ambos están tomados de la desaparecida revista de divulgación científica CNR. El primero salió publicado en mayo de 2003.

El segundo pasatiempo no nos queda constancia de en que fecha salió publicado.

PMP. COMBINACIÓN de letras

El desarrollo de la Combinatoria consiste es estudiar las distintas formas de ordenar una serie de elementos, bien tomándolos todos o una parte de ellos. En la vida cotidiana nos encontramos en muchas ocasiones con esta parte de la matemática, por ejemplo, en las distintas clasificaciones que puede tener el podio de una carrera, en la distribución de las cartas en un juego o en el orden en que salen los números en un sorteo de lotería.

En los pasatiempos también nos encontramos ocasiones en que la solución proviene de aplicar combinaciones o permutaciones a una serie de elementos. Suele ser corriente encontrárselos en pasatiempos de letras en las que hay palabras desordenadas y tenemos que colocarlas en su lugar adecuado. De este tipo son las que vamos a incluir en la entrada de hoy.

En primer lugar, nos podemos encontrar una serie de palabras desordenadas en las que hay que encontrar la permutación adecuada a la frase o palabra buscada. Es lo que tenemos en el ejemplo tomado de la revista Mister K de agosto de 2006.

La peculiaridad del pasatiempo anterior es que las palabras buscadas son operaciones matemáticas, pero en general pueden ser palabras cualquiera, como en el siguiente tomado de la revista Muface.

Para terminar tenemos otro pasatiempo sacado del periódico ABC de 21 de febrero de 1999, en él hay que combinar las sílabas en un determinado orden para hallar una frase adecuada.

PMP. Filoenigmas de cerillas

Varios periódicos de nuestro país han estado publicando, dentro de su sección de ocio, un apartado titulado Filoenigmas, con muchos curiosos pasatiempos creados por Jorge Pastor Petit. Nosotros hemos recopilado muchos de ellos del periódico Diario de Sevilla, especialmente en la década pasada, y hoy vamos a incluir algunos de ellos dedicados a los juegos con palillos o cerillas.

Ya en la entrada PMP. Moviendo cerillas, hablamos hace poco de ellos. En esa ocasión comentábamos los tipos en los que había que construir figuras y moviendo algunos de los elementos conseguir otras figuras distintas. Pero también se pueden crear frase que representen números o trabajar con expresiones correspondientes a números complejos e intentar buscar una expresión que sea correcta. Hoy vamos a ver ejemplos de todos los tipos.

El primero está sacado del diario con fecha 22 de mayo de 2003, en el que se han sustituido las cerillas por lapices.

En el siguiente tenemos uno un poco extraño en el que hay que crear palabras y tenemos cerillas de distinto tamaño. No es de los más habituales en este tipo de psatiempos, pero así nos salimos de la rutina. Está  tomado del 19 de junio de 2003.

Por último tenemos el típico de números romanos, pero en el que nos encontramos con operaciones que no son habituales, como es el caso de una división. Nos lo encontramos el 19 de septiembre de 2003.

Ampliación. Pasatiempos de Ana García Azcárate.

Desde la creación de este blog, hemos pensado que la mayoría de nuestros lectores serían personas relacionadas con la educación, y que deseaban encontrar en estas páginas recursos que poder utilizar en sus explicaciones. Por ello, siempre presentamos ejemplos tomados de la prensa o revistas que pueden tener interés para ser trabajadas en el aula.

Para ampliar ese panorama, solemos hablar de otras páginas de internet en las que podemos encontrar valioso material para completar el que nosotros aportamos en nuestras entradas. Y hasta ahora no habíamos caído en mostrar una de las páginas más interesantes en esta línea y que para nosotros es un orgullo comentar.

En nuestro país hay varias personas de las que somos deudoras de nuestros conocimientos y a las que consideramos que han sido nuestros maestros. Una de esas personas es Ana García Azcárate, miembro del grupo Azarquiel de Madrid y miembro honorario del Grupo Alquerque. Nuestra amiga Ana es una máquina constante de producción de material de juegos y pasatiempos para la clase de matemáticas. Aparte de un par de publicaciones, editadas por ella misma, la primera sobre juegos y pasatiempos de números y álgebra, y un segundo volumen más reciente de geometría, posee una página web en la que va colgando un imprescindible material para trabajar en el aula muchos conceptos de una forma más lúdica.

Para todos aquellos que aún dudan de la utilización de los juegos y los pasatiempos en el aula de matemáticas basta visitar su página lo que pueden hacer haciendo clic sobre la imagen.