Pasatiempos Matemáticos de la Prensa

PMP. Símbolos y Poliedros.

2011-06-20T08:27:00.005+02:00

En otras entradas hemos tratado el tema de los pasatiempos en los que hay que una sucesión de números y hay que hallar cuál es el número que continúa esa serie. Existen otros pasatiempos en los que la sucesión es de dibujos o símbolos que están colocados en determinadas posiciones y hay que encontrar como están colocados esos elementos en la última posición.

Lo que es más extraño es encontrarse con pasatiempos de series en los que la sucesión de números que aparecen depende de una serie de dibujos geométricos sobre los que están situados. Ya vimos un ejemplo en la primera entrega de sucesiones que incluimos en estas páginas. Veamos hoy otro par de ejemplos ambos tomados el periódico El País.

El primero apareció el 4 de Diciembre de 1999.

El segundo es el del 21 de Abril de 2000.

En ambos casos, las figuras sobre las que están colocados los números son fundamentales para encontrar la solución.

PMP. Criptogramas.

2011-06-14T09:29:00.007+02:00

Dentro del mundo de los pasatiempos se suelen llamar criptogramas a aquellas operaciones en las que los números han sido sustituidos por letras y hay que descubrir qué número le corresponde a cada letra de forma que, al sustituir las letras por su valor, la operación resultante sea correcta. La condición es que letras iguales tienen siempre el mismo valor y que no puede haber dos letras distintas con el mismo valor. Veamos un ejemplo tomado del periódico El Mundo el 11 de Enero de 2002.

Este tipo de pasatiempos es bastante corriente y se pueden encontrar operaciones más o menos complicadas. En esta ocasión vamos a incluir solamente sumas, aunque podremos observar que eso no implica que sean fáciles. El siguiente ejemplo está tomado del desaparecido periódico Sol del 8 de Julio de 1990. Hay que tener cuidado con la T que despista del lugar en que está colocada.
Este tipo de pasatiempos, que se consideran dentro del bloque algebraico, en los que hay que encontrar el valor de determinadas incógnitas, también pueden aparecer dentro de los suplementos infantiles de los periódicos dominicales. Para terminar hoy incluimos uno tomado del suplemento Pequeño País. Como vemos se da la pista de indicar los números que entran en la operación.

PMP. Baraja.

2011-06-06T11:17:00.004+02:00

Dentro del bloque de azar, es muy corriente realizar en clase ejercicios en los que se trabaja con barajas. Se extraen cartas y su buscan probabilidades.

Suele ser corriente que este tipo de ejercicio sea, a veces, muy complicado para aquellas personas que no tienen mucho fundamento matemático, pues cuesta entender lo que se pide y/o tener clara la situación en la que nos encontramos. A pesar de conocer la Ley de Laplace para hallar probabilidades, en ocasiones no está claro si todos los sucesos tienen la misma probabilidad y si es posible aplicar la ley sin dificultad.

Sin embargo, en los pasatiempos también podemos encontrar este tipo de ejercicios. Algunos son fáciles de resolver si planteamos, por ejemplo, un diagrama de árbol con las situaciones posibles. Veamos el siguiente pasatiempo tomado del periódico El País del 8 de Agosto de 1999.

Ahora presentamos otro caso en el que la pregunta ya es más complicada, pues la dificultad es encontrar los casos favorables.

Este segundo pasatiempo está extraído de la revista Quiz del 2 de Septiembre de 1999.

Como hemos comentado en otras ocasiones, siempre es interesante ver la posibilidad de ampliar lo que pide el pasatiempo para sacarle más rendimiento didáctico en nuestras aulas. Por eso, en este caso, podríamos preguntar cuál sería la probabilidad en el caso de que la extracción sea con o sin reemplazamiento.

PMP. Jeroglíficos.

2011-06-05T20:30:00.007+02:00

Aunque a veces no se suele considerar como tal, dentro de las páginas de pasatiempos podemos encontrar fácilmente unos elementos en los que debemos localizar una frase que es la respuesta a una pregunta o situación. Nos referimos a los jeroglíficos.

Dentro de este bloque podemos hallar bastantes en los que se utilizan conceptos matemáticos. Unas veces son elementos cuyo nombre sirve para llegar a la solución, aunque normalmente el nombre de ese elemento matemático forma parte de otra palabra más extensa o se divide en varios trozos para conseguir varias palabras. Eso ocurre con el jeroglífico adjunto, tomado de El País del 18 de Septiembre de 1999, en donde el lado mayor del triángulo rectángulo se descompone en tres palabras hipo - ten - usa.

Como es lógico, para resolver estos jeroglíficos es necesario que la persona conozca el nombre exacto del elemento matemático que aparece en él.

En otras ocasiones aparecen números muy conocidos cuyo nombre sirve para formar parte de la solución. Esto ocurre usualmente con el número Pi, como podemos ver en el siguiente jeroglífico tomado de El Mundo del 15 de febrero de 2002.

Eso mismo ocurre con los números romanos. Es muy corriente sustituir cantidades numéricas por su equivalencia en números romanos y, de es forma, se juega con las palabras que forman las letras correspondientes en la numeración romana. Un ejemplo podemos verlo en el siguiente jeroglífico.

Igual que hemos visto en otras ocasiones, este tipo de pasatiempos pueden encontrarse en cualquier tipo de revista o periódico. En concreto, podemos encontrar jeroglíficos con contenido matemático en los suplementos infantiles que acompañan a la prensa dominical. Como ejemplo incluimos el siguiente jeroglífico aparecido en El País y en el que se busca un personaje matemático universalmente conocido, aunque no creemos que se haya conocido en las edades en que se aconsejan resolver los citados pasatiempos.

PMP. Aritmética. Mi pueblo.

2011-05-30T13:29:00.007+02:00

Todos aquellos que nos interesan los pasatiempos, no meramente por el hecho de entreternos de una forma lúdica en las esperas, si no por aprovecharlos como recursos atractivos y motivadores para nuestro trabajo, siempre vamos pendientes de localizar ejemplos que no son los usuales en los periódicos a los que accedemos normalmente. Por esta razón, siempre que viajamos a otras provincias, nos gusta ojear la prensa local y, especialmente, la parte de pasatiempos para localizar algunos que nos resulten nuevos. Esto nos ha ocurrido hace poco en una visita a la impresionante ciudad de Bilbao.

Hojeando el periódico Deia descubrimos un pasatiempo llamado Aritmética que básicamente es una serie de números entre los que hay que intercalar signos numéricos para conseguir un valor determinado. Es un claro ejemplo de ejercicio que si se pusiese directamente habría una gran cantidad de alumnos que no los miraría una segunda vez, pero que puesto como pasatiempo parece que tiene más atractivo. Y cuando sigue saliendo diariamente en el periódico es porque la gente debe tomarse interés en resolverlo.

A continuación, vienen dos ejemplos ambos del periódico Deia de los días 20 y 21 de Mayo de 2011:

Es interesante que se avise de que pueden existir más de una solución. Por ejemplo, en el segundo caso nosotros hemos encontrado en un momento tres soluciones distintas que además cumplen la jerarquía de operaciones. Son las siguientes:

8·2 - 3 - 5·1 =8
8 - 2 - 3 + 5·1 = 8
8:2·3 - 5 + 1 = 8

Es importante exigir que se cumpla el orden de las operaciones pues si no podemos llegar a soluciones que no se deberían dar como correctas. Por ejemplo, la solución 4-2-1+6·3 no se debería considerar como válida en el primero de los pasatiempos, pues para ser válida las primeras sumas y restas deberían ir entre paréntesis.

Esto es importante tenerlo presente pues si no nos podemos encontrar con errores como en el siguiente ejemplo tomado del apartado infantil del periódico ABC.

En este caso se puede apreciar que ninguno de los niños podría vivir en la primera casa.

P.M.P. SUCESIÓN 2.

2011-05-24T12:52:00.007+02:00

Ya comentamos en una anterior entrada lo interesante que resultaban, como recurso para clase, las actividades sobre sucesiones y series. Es una forma lúdica de afrontar el tema de las progresiones.

Pasatiempos en los que se estudien series se pueden encontrar muy diversos aunque la mayoría consiste en una sucesión de números en los que hay que encontrar la regla de formación. Esa regla puede variar y hacerse todo lo complicada que se desee. A veces está formada por varias operaciones que se alternan periódicamente y se piden el siguiente término. Basta encontrar la regla y aplicarla al último elemento. Podemos verlo en el siguiente pasatiempo tomado del desaparecido periódico Diario 16.

Como hemos comentado en otras ocasiones, a los pasatiempos matemáticos es posible, normalmente, sacarles más rendimiento didáctico que la mera cuestión que plantean en su redacción original.

Por ejemplo, es interesante en estos casos pedir que se escriban los tres o cuatro siguientes frutos del árbol para comprobar que se ha localizado bien la regla de formación.

Otra cuestión que podríamos pedir es si el número 100 podría formar parte de los frutos, o cualquier otro número que se nos ocurriera. O cuál sería el primer número de tres cifras en aparecer en la copa del árbol.

A veces tenemos una mera rueda de números en el que la regla de formación va cambiando al pasar de un término a otro. Veamos el ejemplo aparecido en el periódico El País del 6 de Septiembre de 1998.

Aquí, aparte de encontrar el número que sigue, es interesante el término general de la sucesión. Hallarlo por recurrencia es relativamente fácil, pero intentar encontrar la expresión general que dependa del primer término es bastante más complicado. Por eso podemos utilizar esta actividad de forma diversificada para atender a la diversidad del aula.

Por último, podemos ver un ejemplo de como este tipo de ejercicios es posible plantearlos para un público infantil ya que el siguiente pasatiempo está tomado del suplemento infantil del periódico ABC, concretamente del 10 de Marzo de 1996.

De todos modos uno de los aspectos más aprovechables de este tipo de pasatiempos, con los que se pueden repasar las operaciones básicas en Primaria, consiste en modificar la idea y plantear a los alumnos que sean ellos los que se inventen su propia regla de formación para formar un pasatiempo que después tendrán que resolver el resto de sus compañeros. Se le puede dar un premio a aquellos que planteen un acertijo correcto que sea descubierto por el menor número de compañeros. Con el planteamiento de esta actividad nos podemos hacer con un banco de ejemplos muy interesante.

Con esta entrada vamos a intentar llegar a la Edición 2.4 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión coordina nuestra amiga Clara Grima.

PMP. EL NURIKABE.

2011-04-25T21:39:00.005+02:00

Comentábamos en nuestra anterior entrada el predominio que en el mundo de los pasatiempos de la prensa ostenta actualmente el Sudoku. Tras su éxito apoteósico, desde su aparición, y agarrados a la cola de esa ola gigante que ha arrasado a la mayoría de otros pasatiempos, han aparecido muchos otros, supuestamente creados también en Japón. En determinados periódicos pueden encontrarse variaciones como el Sudoku Samurai o el Killer, u otros tipos de pasatiempos como el Tredoku, Kenken o Kakuro. Muchos de ellos pueden encontrarse en Internet para jugar con ellos de forma interactica. Con varios de estos últimos pueden ustedes jugar en la excelente página de nuestro amigo Joaquín García Molla Matemáticas interactivas y manipulativas.

Hoy queríamos hablar de un pasatiempo que hemos encontrado en un periódico local, del que por desgracia hemos recortado el enunciado sin anotar de qué prensa en concreto era. El pasatiempo se llama Nurikabe. Fue creado en el año 1991 por la empresa nipona Nikoli, que edita una revista de pasatiempos (Puzzle Communication) y desde su aparición ha gozado de gran éxito y no ha dejado de aparecer en la revista.

A continuación, tienen ustedes el recorte tomado del periódico.
Básicamente, como se puede ver en el ejemplo, consiste en rellenar de negro las casillas que faltan de forma que se cumplan las condiciones que se indican.

Si les parece muy complicado para empezar con él pueden ustedes comenzar probando con un ejemplo más simple como el siguiente sacado de la wikipedia.

Si quieren comprobar la solución pueden hacerlo en este enlace.

Hay páginas en las cuales puede encontrarse este reto lógico para resolverlo on-line.

Les damos la dirección de dos páginas. La primera, aparte de tener enlaces a otros puzzles de tipo lógico similar (como el sudoku) tiene la posibilidad de elegir las dimensiones del nurikabe que queremos intentar. La segunda, que está en español, permite seleccionar el nivel de dificultad.

http://www.puzzle-nurikabe.com/
http://www.aulademate.com/contentid-202.html

PMP. RETOS LÓGICOS

2011-04-21T20:37:00.012+02:00

Cuando hace unos tres años y medio comenzó la irregular andadura de este blog, teníamos muy claro que uno de nuestros objetivos es que sirviera para dar a conocer la gran cantidad de pasatiempos de contenidos o procedimientos matemáticos que existen. Pensamos que en los pasatiempos hay un poderoso recurso para trabajar las matemáticas desde una perspectiva más lúdica aunque no por eso menos rigurosa.

Queríamos que este blog sirviera como foro de intercambio de pasatiempos entre nuestros lectores, especialmente de aquellos que nos leen desde fuera de nuestro país. Hasta el momento no hemos tenido suerte ya que la retroalimentación de contenidos solo ha funcionado en un sentido, pero no perdemos la esperanza de que algunos lectores nos envíen ejemplos de pasatiempos de sus regiones o países que puedan enriquecernos a todos.

Con esa idea presentamos hoy esta entrada en la que vamos a presentar una serie de pasatiempos con los que nos encontramos casi a diario pero quizás no tan habituales en otros lugares.

Desde que comenzaron a aparecer los periódicos gratuitos en nuestro país, han estado acompañados de pasatiempos que, en la mayoría de los casos, se reducían a sudokus de mayor o menor dificultad. Suponemos que debe ser un tipo de pasatiempo con un gran número de fieles cuando siguen con la misma pujanza que el primer día. Sin embargo, en los últimos meses, el periódico gratuito ADN ha comenzado a incluir en sus páginas una serie de pasatiempos lógicos que nos parecen interesantes y a ellos hemos querido dedicar esta entrada.

Los dos primeros que presentamos consisten en colocar elementos en un recuadro conociendo el número de elementos que hay en cada fila o columna o alrededor de un elemento fijo.

El primero apareció el 21 de Marzo del 2011.

Como se puede apreciar en las imágenes, en todos ellos aparece un ejemplo de qué es lo que se pretende conseguir.

En ambos casos los elementos que se señalan deben estar alrededor de los indicadores, en el primero junto a los círculos y en el segundo junto a las casillas que indican el número de luces. Éste apareció el 28 de Marzo de 2011.

Este segundo ejemplo es similar a otro que incluimos en una de nuestras últimas entregas llamado Castillograma y que había aparecido en el suplemento infantil de El País.

El último que incluimos hoy cambia un poco el proceso anterior. En él hay que dividir el cuadrado en poliminós de forma que los cuadros que lo formen estén rellenos con la cantidad de cuadros que forman esos poliminós. Pueden encontrarse desde piezas formadas por un cuadro hasta formados por seis o siete. En cierta forma lo que se pide es trazar las divisiones que rodean a cada figura, un poco como se hacía en otro de los pasatiempos incluido en la entrada que comentamos antes y que se llama El Corral.

Con esta entrada, y en el último día, queremos que este blog participe en la Edición 2.3 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión en esta edición es el blog Los Matemáticos no son gente seria.

PMP. ¿Y de vista que tal?

2010-09-20T21:36:00.006+02:00

Cuando trabajamos en Geometría con las figuras de polígonos básicos solemos tender a trabajar siempre con polígonos regulares y/o dibujados siempre en determinadas posiciones que hacen que los alumnos se confundan, a veces, al verlos dibujados de otra manera.

Todos los profesores sabemos que un cuadrado en el que las diagonales sean vertical y horizontal se convierte automáticamente en un rombo y deja de ser cuadrado. O que un rectángulo, por tener los lados iguales, deja inmediatamente de ser un rectángulo y se convierte en un cuadrado, que para muchos alumnos no es lo mismo.

Por eso, es muy útil trabajar esos pasatiempos en los que hay que reconocer determinados polígonos. En concreto, hay una serie en la que se intenta descubrir cuántos polígonos de cada tipo hay en una figura en la que se entrecuzan varias líneas. La dificultad es ver los polígonos que no son simples, si no que están formados por líneas más separadas y que dentro engloban también algún otro polígono.

A continuación, tenemos dos pasatiempos recogidos del desaparecido Diario16.

Por ejemplo, hay alumnos que no pueden ver los trapecios isósceles que aparecen en el primer pasatiempo.

El dibujo puede complicarse tanto como se quiera. Podemos dedicar un ratillo a resolver el siguiente pasatiempo tomado de El País del 2 de Agosto de 1998.

PMP. El corral.

2010-09-03T21:40:00.006+02:00

En algunos pasatiempos puede parecer que no hay ningún procedimiento claro a seguir. En general, lo que se suele hacer es ir probando posibles soluciones. Pero si no se sigue una determinada lógica es muy complicado dar con alguna distribución que nos sirva. Normalmente, al plantearnos su solución, debemos tener presente todos los conocimientos de que disponemos y plantearlos claramente antes de comenzar a probar como locos.

Seguramente todos nuestros lectores han jugado en algún momento de su vida al conocido juego de Buscaminas, típico del Windows desde los primeros comienzos. En esta ocasión os presentamos un pasatiempo que va en la misma línea. Tomado del periódico El País, como los dos restantes, el 19 de Marzo de 2006. En él debemos señalar las paredes del corral atendiendo a la información dela que se dispone.

En el siguiente debemos colocar puntos, como si fuesen las bombas, pero en este caso no sabemos cuáles están al lado, si no las que hay en las líneas que se señalan. Apareció el 3 de Agosto de 2008.

Y por último, uno en el que se complica la estructura de los puntos que tenemos que colocar. Lo encontramos el 11 de Septiembre de 2005.

PMP. Nivelela.

2010-08-30T20:48:00.009+02:00

Todos los profesores somos conscientes de las dificultades que se les presentan a los alumnos a la hora de manipular ecuaciones y sistemas.

Cuando estamos resolviendo una ecuación, aunque no nos demos cuenta del proceso, es corriente pasar elementos de un miembro a otro sumando o restando convenientemente. En cierta forma lo que se hace es agrupar elementos según unas pautas que conozcamos previamente. Eso es precisamente lo que se hace con las balanzas.

Son corrientes los pasatiempos de balanza en los que se pretende conseguir en uno de los platillos una distribución de la que se conozca su equivalencia. Lo normal es que en este tipo de pasatiempo tengamos un sistema de ecuaciones, ya que nos dan dos balanzas niveladas y nos piden una determinada solución nivelada para la tercera, que no necesariamente es la equivalencia de los elementos que aparecen, si no de un grupo de elementos.

Un ejemplo, de este tipo de pasatiempo, podemos verlo en el siguiente tomado del desaparecido Diario 16.

Es fácil encontrar este tipo de pasatiempo en los suplementos infantiles de los periódicos dominicales. Por ejemplo, el siguiente tomado del periódico ABC del 30 de Enero de 1994.

Éste más reciente está tomado del suplemento dominical de El País del 16 de Diciembre de 2007.

Aunque más adelante volveremos sobre el tema de las balanzas, si quieres localizar más acertijos utilizando balanzas puedes consultar la página MatemaTICs.

PMP. Expresar en otros términos. ¡Vaya lata!

2010-08-28T20:59:00.004+02:00

Ya en entradas anteriores hemos trabajado algunos de los heurísticos propios de la Fase de Comprensión. En esta ocasión vamos a ver un ejemplo de como trabajar un pasatiempo para desarrollar el procedimiento de expresar en otros términos.

Las matemáticas son una de las disciplinas en el que es más usual utilizar este heurístico, ya que es corriente que elementos de diverso tipo lo representemos de otra manera para resolver un problema. Y no nos referimos únicamente al álgebra en el que utilizamos letras para representar cantidades que no conocemos. En otros bloques también es útil, a la hora de simplificar la resolución de un problema, cambiar de forma de representar los elementos que manejamos.

En los pasatiempos podemos encontrar con facilidad el procedimiento de expresar en otros términos en los jeroglíficos. Hay muchos de ellos en los que aparecen números que hay que expresar en notación romana para responder a la pregunta que nos hacen y encontrar la solución. Veamos por ejemplo el siguiente.

Basta convertir algunos de los números en su equivalencia en números romanos:

500 = 50 + 0 = L + o = Lo
60 = 6+0 = VI+o = vio
1001 = MI = mi
5 = primo

Como ejemplo de pasatiempo, en el que hay que aplicar el procedimiento de expresar en otros términos, tenemos el siguiente aparecido en la revista QUO en febrero de 1999.

PMP. Sucesión.

2010-08-26T09:48:00.008+02:00

Como hemos intentado dejar claro en este blog, los pasatiempos de la prensa, aparte de un entretenimiento lúdico, son de gran utilidad como recurso en nuestras clases de matemáticas. En las entradas que vamos incluyendo pretendemos ver ejemplos variados que podamos utilizar en todos los bloques temáticos de esta asignatura.

Como introducción a las sucesiones y progresiones, que se suelen comenzar en 3º de ESO, siempre nos han servido el bloque de pasatiempos de series. En estos pasatiempos se debe encontrar el término general de una sucesión o, más bien, la regla de formación de los términos para poder escribir el término que sigue.

A veces esa ley de formación es muy simple, como en el siguiente pasatiempo extraído del periódico Canarias7 del 8 de Septiembre de 2002.

En otras ocasiones la regla es más complicada ya que utiliza varias operaciones distintas según el término en el que se encuentre. Veamos un ejemplo tomado de la revista Lecturas del 10 de Agosto de 2001.

En ocasiones se mezclan números y geometría para construir la sucesión buscada, como en este pasatiempo de El País del 20 de Abril de 1986.

A veces hay series que pueden tener distintas reglas de formación, con lo que podemos obtener distintos resultados. Pero eso será para otra ocasión.

PMP. Dolor de cabeza.

2010-08-25T14:05:00.009+02:00

Ya hemos comentado en las entradas correspondientes al bloque de la Fase de Ejecución lo importante que es, a la hora de resolver algunos pasatiempos, el sistematizar el trabajo y seguir un riguroso orden.

Esto es especialmente importante cuando nos encontramos con un pasatiempo en el que tenemos que encontrar todas las posibilidades que cumplen una determinada regla. Es corriente que nos encontremos dentro del mundo de la Combinatoria. Como es lógico no se pretende que se utilicen las fórmulas asociadas, si no que en la mayoría de los casos lo que hay que hacer es un recuento sistemático, para lo cuál es ideal trabajar con una estructura en diagrama de árbol.

Eso ocurre en el siguiente pasatiempo tomado del suplemento infantil del periódico ABC del 27 de Diciembre de 1987.

Uno de los problemas típicos de esta parte de las matemáticas es el de los choques entre personas para saber cuantos besos. abrazos, choques de mano o brindis, como en este caso, se han dado. El pasatiempo está tomado del suplemento dominical de El País del 30 de Diciembre de 2007.

Para acabar añadimos otro pasatiempo en el que el seguir un orden preciso es fundamental para encontrar todas las soluciones que faltan. Está tomado del periódico El País del 10 de Febrero de 2001.

PMP. Sumafrutas.

2010-08-23T12:06:00.009+02:00

Decíamos ayer.... lo interesante que es la utilización de pasatiempos para adquirir los procedimientos típicos de la resolución de problemas. Ya hemos visto en este blog que hay posibilidad de encontrar pasatiempos en prácticamente todos los bloques temáticos que se desarrollan en Primaria y en la E.S.O.

Vamos a retomar hoy nuestro blog presentando unos pasatiempos que se engloban en la parte de Álgebra.

Todos los profesores somos conscientes de las dificultades que significan para los alumnos el salto a la abstracción necesaria para trabajar con letras. Pedro Puig Adam comentaba en su libro La matemática y su enseñanza actual lo siguiente refiriéndose al uso de letras en lugar de números:
"Es posible hacer sentir como cosa viva la necesidad de su empleo. Debe cuidarse de forma exquisita el método en la iniciación al cálculo literal. Toda formalización y verbalización prematuras y exageradas engendrarán los inevitables errores"

Pensamos que el uso de los pasatiempos algebraicos puede servir para ver esa necesidad de representar mediante letras elementos que no conocemos. Incluso podemos introducir aspectos algebraicos en Primaria, en donde el enfoque sería encontrar elementos que no se conocen dentro de una operación.

Un ejemplo muy típico de pasatiempo algebraico es aquel en el que tenemos distribuidos una serie de elementos en dos columnas, cada uno de ellos con un valor concreto, que no conocemos, y sabemos cuánto vale una operación de esos elementos. Por ejemplo han sido muy típicos en El País, dentro de la sección infantil, los Sumafrutas, como el siguiente aparecido el 30 de Enero de 2005.
Es fácil sustituir las frutas por las iniciales de los nombres y conseguir resolver el problema. En este caso en concreto es posible ir resolviendo el pasatiempo reduciéndolo a problemas más simples. Por ejemplo, hallar el valor de las manzanas utilizando sólo la primera fila. Después calcular el valor del plátano utilizando lo ya hallado y la segunda fila, y así sucesivamente. Estaríamos utilizando un procedimiento típico de la resolución de problemas, el considerar un problema más simple.

En el mismo periódico han sido típicos el mismo pasatiempo pero con una distribución de 6x8, siendo su resolución mucho más complicada.

Otra forma de presentar este tipo de problemas es directamente utilizar letras distribuidas en filas y columnas. Un ejemplo puede ser el siguiente pasatiempo tomado del desaparecido Diario 16.

Como es evidente es complicado afrontar la solución creando un sistema de ocho ecuaciones con ocho incógnitas. Lo usual es encontrar regularidades comparando entre sí las filas y las columnas.

Para terminar esta entrada añadir un pasatiempo de este tipo en el que se utilizan fichas del dominó para plantear el problema. Ya habíamos visto en PMP. Comecocos. Problemino. un pasatiempo en el que se utilizaban fichas del dominó. El pasatiempo apareció en el Diario 16 el 1 de Febrero de 1987.

PMP. Colorear mapas

2008-04-10T20:39:00.012+02:00

Situaciones que hace más de un siglo sirvieron de impulso a nuevos descubrimientos y avances matemáticos aparecen actualmente en pasatiempos. Una de estas situaciones es la de colorear mapas con ciertas restricciones.

Colorear un mapa con el mínimo número de colores de forma que países con una línea de frontera (y no únicamente un punto) no tengan el mismo color fue un problema planteado por primera vez por un estudiante de Edimburgo, Francis Guthrie, en 1852. De él llegó a Augustus de Morgan que no supo solucionar el problema, pero extendió el reto entre otros matemáticos. La conjetura de que cuatro colores eran suficientes se hizo célebre cuando Arthur Cayley, en 1878, la propuso a la Sociedad Matemática de Londres, una de las sociedades de matemáticos más importantes del mundo en esa época, como un problema a resolver.

En 1879, el jurista y matemático inglés Sir Alfred Kempe publicó la que él creía ser una demostración, pero años más tarde se encontró un error en su demostración.

No es un problema fácil. A finales del siglo XIX se demostró que cinco colores bastan y que tres colores son insuficientes para colorear cualquier mapa. En 1950 se sabía que si el mapa tenía menos de 36 países se puede colorear con cuatro colores; y en 1976, con ayuda de ordenadores, se concluyó que bastan cuatro colores.

Revista QUO, Diciembre 1996

Investigación:

Vamos a considerar el mapa provincial de España, pero comunidad a comunidad. Y de nuevo con la condición de que dos zonas vecinas no contengan el mismo color.

¿Qué comunidades necesitan sólo un color?

¿Qué comunidades necesitan dos colores?

¿Qué comunidades necesitan tres colores?

¿Qué comunidades necesitan cuatro colores?

Haz primero una estimación y luego ponte a colorear si lo necesitas.

Otro pasatiempo en la misma línea, esta vez de El País Semanal, es el siguiente:

PMP. APUNTEN II

2008-04-09T20:35:00.008+02:00

Otro ejemplo de pasatiempos con errata, esta vez en la ilustración, es el siguiente aparecido en El País Pasatiempos en marzo de 1999. Una misma región de la diana aparece con dos valores: 2 y 15 puntos.

Creemos que se trata de una errata pues en realidad no afecta a la solución, basta considerar la siguiente abstracción de ese pasatiempo: ¿Dónde deben dar siete tiros, en una diana con zonas de 2, 3, 9, 15 y 16 puntos, para sumar 100?

Una variante de esta idea apareció posteriormente, también en El País Pasatiempos, y del mismo autor, Guante Blanco. En ella se pregunta por el menor número de disparos para obtener 100.

PMP. Apunten

2008-03-17T13:33:00.006+01:00

Algunos tipos de pasatiempos pueden servir como puente para pequeñas investigaciones matemáticas.

Este ejemplo, extraído del Diario 16, es también una muestra de que los pasatiempos pueden contener errores (en los enunciados o en las soluciones). A pesar de indicar que son “DOS” las soluciones que se pueden encontrar con seis impactos, en realidad son seis.

Las investigaciones que se pueden realizar a partir de un enunciado permiten un mayor aprovechamiento de la idea que se está trabajando. En nuestro ejemplo posibles propuestas que se pueden hacer, una vez resuelto el pasatiempo original, son:

a) Encontrar una solución (que es única) con cinco disparos.

b) Encontrar soluciones (hay muchas) con siete disparos, donde se puede partir de las soluciones encontradas con seis disparos.

c) Hallar el máximo número de disparos para conseguir 100 acertando siempre en un número.

PMP. Platos rotos. Goofy carpintero

2008-02-17T19:06:00.002+01:00

Define la Real Academia Española la palabra geometría como el estudio de las propiedades y de las medidas de las figuras en el plano o en el espacio.

En realidad las cosas no son tan simples cuando se profundiza un poco y superamos la epidermis de las ideas; si no vean en el blog Tío Petros de Jesús M. Landart la entrada Definición de geometría.

En la entrada Piezas Sueltas se trataba el reconocimiento de figuras, situación no siempre fácil.

Otro aspecto relacionado con las formas es el de unir piezas que forman un objeto determinado. Los dos siguientes pasatiempos pertenecen a esta categoría.

Abecelandia 17/03/96

Aunque también entre los pasatiempos infantiles podemos complicar la completitud si introducimos las tres dimensiones, como en el caso siguiente, donde se pregunta sobre el números cubos que se pueden formar con los distintos trozos de madera.

Mi País, 06/11/99

PMP. Sudoku con puntas

2008-02-01T16:52:00.000+01:00

El que haya 67 700 000 entradas en Google, hoy 1 de febrero de 2008 a las 16.15 horas, con la palabra Sudoku, dan una idea de la globalización de este pasatiempo. En español 786 000.

En wikipedia se dice que, originario de Estados Unidos en 1979, el Sudoku se hizo mayor en Japón en 1986 e internacionalmente popular a partir de 2005. La idea corresponde a Howard Garns y nació con el nombre de Number Place (el lugar de los números).

Posteriormente, la editorial Nikoli lo exportó a Japón, publicándolo en el periódico Monthly Nikolist en abril de 1984 bajo el título "Sūji wa dokushin ni kagiru", que se puede traducir como "los números deben estar solos". Fue Kaji Maki, presidente de Nikoli, quien le puso el nombre, que posteriormente se abrevió a Sūdoku (sū = número, doku = solo).

Los siguientes pasatiempos son una variante del Sudoku, llamada Sudoku con puntas, publicada en El Pequeño País en octubre y diciembre de 2007, respectivamente. Su autor es Antonio G. de Santiago.

En Su.doku.es puede encontrarse información muy curiosa e interesante sobre el mundo de los Sudokus.

PMP. Sistematizar el trabajo. Buena vista

2008-01-27T20:18:00.000+01:00

Aunque en un principio pueda parecer sencillo, no es extraño que en el pasatiempo siguiente se pasen por alto los cuadrados que pueden formarse girados respecto a la horizontal. Ya sabemos que cuando a nuestros alumnos les dibujamos un cuadrado girado sobre un vértice, reconocen muchas veces un rombo, pero no el cuadrado.

Añadimos varias propuestas:

Para poder resolver correctamente este pasatiempo hay que localizar cuatro tipos de cuadrados: ¿de qué medida de lado?, ¿cuánto vale el área de cada uno de estos tipos?
¿Cuántos círculos centrados en uno de los puntos y que pase por cuatro de los restantes puedes trazar?
¿Cuántos rectángulos –que no sean cuadrados- puedes dibujar uniendo los puntos que hay en el interior del círculo?
¿Cuántos triángulos rectángulos?
¿Cuántos triángulos cualesquiera?

PMP. Dinosaurio Calculator

2008-01-15T21:04:00.000+01:00

Este es un pasatiempo muy de clase de matemáticas, para la etapa de Secundaria, a partir de 12 años, pues en él se abordan operaciones combinadas y su correspondiente jerarquía.

Hay que tener cuidado con las erratas (o errores) que suelen aparecer en los pasatiempos. En esta entrada la primera expresión necesita de un corchete que abarque [(3 x 4) + 5 – 2], pues si no aparecería la fracción 2/3, que no permitiría obtener un número natural de la columna de la derecha.

Dinosaurio calculator

PMP. Tantear. Recortar. Dividir

2008-01-12T08:30:00.000+01:00

La planificación es, en el esquema de George Pòlya, la segunda fase en la resolución de un problema. Es la concepción de un plan. Se busca información para elaborar una estrategia que lleve a la resolución.

En esta fase uno de los heurísticos manejables es Tantear, Probar, intentando averiguar las particularidades que ha de tener aquello que se busca, hasta hacerlo encajar con la propuesta del enunciado.

Los dos pasatiempos que proponemos de nuevo están extraídos de la revista Tráfico: el primero, Recortar, corresponde a marzo-abril de 2000, y el segundo, Dividir, a enero-febrero de 2001. Ambos son propuestos por Árias.

Recortar

Dividir

Ampliación. Almacén de regalos

2008-01-07T20:17:00.000+01:00

Comentábamos en la entrada PMP. Experimentar. Almacén de regalos que este pasatiempo representaba una Torre de Hanoi con tres regalos haciendo el papel de aros o discos. Como es posible que alguien no haya oído hablar de este juego, vamos a dar algunos enlaces para conocerlo un poco mejor; aunque la verdad es que existe abundante información en internet, ya sea buscando en castellano o en inglés (Tower of Hanoi).

Cubierta original del rompecabezas Torre de Hanoi
Imagen tomada de http://www.cs.wm.edu/~pkstoc/toh.html

Nuestro amigo Luis Balbuena Castellano publicó en 2006, en la revista matemática Sigma, un artículo que recomendamos de título Las Torres de Hanoi y el mandato de Brahma, donde además de analizar el juego hace unas interesantes propuestas didácticas, sugerencias y nuevos juegos.

Imagen de http://chelis.iespana.es/ingenio2.htm

Un poco por casualidad, el otro poco porque llevaba algún tiempo en nuestra biblioteca, hemos abierto el magnífico libro Orden en el caos de Rodolfo Valeiras y Javier Santos editado por la editorial cordobesa Almuzara. Este libro, dedicado a puzzles de movimientos secuenciales, tiene un epígrafe sobre la Torre de Hanoi. De ahí navegando hemos llegado a Heureka, la página web de Rodolfo Valeiras con un interesante estudio de la Torre.

Como el objetivo de este blog es hacer pensar y razonar con la excusa de los pasatiempos, añadimos dos propuestas a la propuesta en el pasatiempo Almacén de regalos:

¿Cuántos movimientos se necesitarán para transportar los regalos por el camino más largo posible, pero sin pasar dos veces por la misma distribución de las cajas?
¿Cuántos movimientos serán necesarios para mover los regalos si la estantería tuviese cuatro baldas en lugar de tres?

PMP. Piezas sueltas

2008-01-04T12:01:00.000+01:00

La Geometría y la Aritmética son las dos partes de las Matemáticas con las que primero se encuentra una persona en su tierna infancia. Cuando empiezan a conocerse los números, incluso antes de empezar a operar, también se comienza a asimilar las primeras figuras y propiedades geométricas. Por ello no es raro que muchos pasatiempos tengan fundamento geométrico, pues cualquier persona con unos mínimos años de estudio puede reconocer elementos geométricos.

Así podemos encontrar en ellos figuras geométricas básicas, simetrías, giros, semejanzas, áreas de figuras elementales, desarrollos planos de figuras espaciales, engarce de piezas para formar figuras de dos y tres dimensiones, reconocimiento de figuras iguales entre varias, etc.

Además, los pasatiempos geométricos pueden plantearse a cualquier edad; por ello, no es raro encontrarlos en tebeos y revistas para los más pequeños. No por ello este tipo de pasatiempos son todos elementales y fáciles.

Lo primero que podemos encontrarnos es el reconocimiento de figuras. Un ejemplo es el siguiente encontrado en una revista infantil, concretamente la revista TOP en marzo de 1997.

Desde nuestra perspectiva de profesores y adultos estos pasatiempos pueden parecer triviales, cosa que no son. En primer lugar por las distintas edades en que podemos proponerlos, en segundo lugar por la necesaria sistematización en la comparación entre las figuras y en tercero porque las piezas del cuadrado y fuera de él pueden tener orientaciones distintas, es decir, haber sufrido un giro y esto dificulta su búsqueda, pues obliga a tener claras las propiedades de esa figura (número de lados, ángulos, concavidad o convexidad…), aunque estos términos estén expresados de forma mucho menos rigurosa y se hable de picos o valles, salientes o entrantes, etc.

PMP. Comecocos. Problemino

2008-01-03T17:55:00.000+01:00

Tráfico y Seguridad Vial es una revista bimensual y gratuita editada por la Dirección General de Tráfico dependiente del Ministerio del Interior del Gobierno de España.

Tiene una sección denominada Área de descanso dedicada a los pasatiempos. Con frecuencia alguno suele tener contenido matemático. Los dos que reproducimos a continuación corresponden al nº 187 de noviembre-diciembre de 2007. Su autor firma con Árias.

Este pasatiempo pertenece a la familia de los problemas de dominó, en este caso sólo con seis fichas. No se pide que fichas contiguas estén unidas por el mismo número, como ocurre en el juego del dominó.

Pasatiempo con una redacción muy escolar. A más de uno le recordará su infancia/adolescencia y la presencia en ella de las fracciones.

La revista, excepto la sección de pasatiempos, puede leerse en Tráfico y Seguridad Vial.

PMP. Orden. Apuesta segura

2008-01-02T20:26:00.001+01:00

Comenzamos 2008. El siguiente pasatiempo también fue publicado en el diario deportivo español Marca, en 1998. La autora de este pasatiempos es la empresa Big Book Juegos.

Trata sobre carreras de caballos. Es importante el papel del heurístico “orden”, ya en la fase de ejecución que George Pòlya considera la tercera en el camino de la resolución de problemas.

El Informe Cockcroft y los pasatiempos de la prensa

2007-12-31T20:24:00.000+01:00

Imagen de www.reprodart.com/a/artist-artist/sudoku-9.html

A principios del año 1982 se hizo público en el Reino Unido el Informe Cockcroft -Informe sobre la enseñanza de las matemáticas en las escuelas de Primaria y Secundaria de Inglaterra y Gales- (Versión española: “Las matemáticas sí cuentan”, MEC, Madrid 1985). Este informe fue un análisis riguroso de la enseñanza de la matemática en esas zonas del Reino Unido, que presentaban prácticas poco satisfactorias, como en muchos países distintos del Reino Unido, yademás daba alternativas para mejorar la enseñanza de esta materia. En su punto 7 se decía:

El hecho de que en muchos periódicos y revistas aparezcan “secciones de problemas de ingenio” demuestra que la atracción por los problemas relativamente elementales y “puzzles” es amplia; los intentos de solucionarlos producen un divertido placer y también, en muchos casos, conducen a una mayor comprensión matemática. Para algunas personas, también, el atractivo de las matemáticas puede ser incluso mayor y más intenso.

El que esta atracción hacia los pasatiempos también puede darse en el caso de pasatiempos matemáticos queda ampliamente demostrado por la revolución que ha significado desde el verano del 2005 la llegada a los periódicos españoles del Sudoku, un pasatiempo numérico en el que aunque no haya que hacer ninguna operación sí hay que aplicar una serie de algoritmos y procedimientos matemáticos para resolverlo.

PMP. Experimentar. Almacén de regalos

2007-12-28T20:00:00.000+01:00

Es cierto que no es fácil conseguir que la resolución de problemas esté presente constantemente en nuestras clases. La presión del curriculum, la desmotivación de los alumnos, la diversidad de niveles e intereses… son factores que frenan, y a veces imposibilitan, su incorporación. Los pasatiempos matemáticos son un recurso que nos puede ayudar a introducir en nuestras clases, en las actividades complementarias e incluso en las extraescolares una cuña en la línea antes comentada.

El proceso de resolver un problema ha sido dividido por los investigadores en fases, y pueden encontrarse algunas diferencias según los autores. Para George Polya la primera es la Comprensión, y dentro de ella existen, como en todas las fases, diferentes heurísticos.

El pasatiempo de esta entrada lo catalogamos en Experimentar, aunque como no podía ser de otra forma también se pueden utilizar otros como descomponer el problema o conjeturar. Fue publicado en la revista QUO en febrero de 1998. El origen de esos pasatiempos es Big Book Juegos.

Heurístico. Es cualquier invención, técnica, regla de manejo, etc. que ayuda en la resolución de problemas. (J. Kilpatrick)

Este pasatiempos es similar al juego de la Torres de Hanoi, del matemático francés del siglo XIX Édouard Lucas. Una vez resuelto el caso n = 3 se puede plantear su generalización a 4, 5,…, n cajas.

PMP. Leer y entender bien. Hoyo final

2007-12-27T20:00:00.000+01:00

Una de las primeras fases en el proceso de resolver un problema es la comprensión: entender bien el problema y sus partes. ¿Cuáles son los datos?, ¿qué se busca?, ¿cuáles son las condiciones?…

En la imagen tenemos el primer pasatiempo de este blog. Fue publicado en España, en el diario deportivo Marca, en 1998. Utiliza el contexto deportivo, en este caso del golf, para plantear un pequeño problema. Su creadora es la empresa Big Book Juegos.

Siempre que podamos daremos indicaciones de dónde hemos obtenido el pasatiempo: en primer lugar por cortesía con las fuentes, en segundo por situarlo en el tipo de prensa y en tercero por hacerlo cronológicamente.

Aunque alguien pueda pensar lo contrario los pasatiempos matemáticos de la prensa son de a. S. (antes del Sudoku) y queremos mostrarlo, para ver su evolución. Las soluciones las dejaremos a los lectores, y sólo en caso de extrema necesidad, y si disponemos de ellas, las añadiremos. Como dice Alquerque2: “Pasatiempo resuelto, pasatiempo muerto”.

Pasatiempos matemáticos y Resolución de Problemas.

2007-12-27T19:30:00.000+01:00

Imagen de Su.doku.es

Los viajes y las vacaciones son los momentos en que mayor es la predisposición a resolver pasatiempos. Sin embargo, son propuestas que presentan un desafío y obligan a un ejercicio mental, y que, por tanto, pueden llevarse fácilmente a las aulas como recurso educativo, siendo por otro lado bastante baratos.

A lo largo de nuestra existencia, y no solamente en clase de Matemáticas, una de las acciones que más frecuentemente realizamos es resolver problemas; que no siempre son desagradables, pues pueden ser hasta entretenidos, y desde luego es satisfactoria su resolución. El proceso mental que ponemos en marcha cuando intentamos resolver un problema de nuestra vida cotidiana tiene muchos aspectos relacionados con las Matemáticas. Por tanto es deseable que en la escuela e institutos se prepare a los alumnos para realizar estas tareas.

En este blog vamos a mostrar pasatiempos en cuya resolución se utilizan distintos heurísticos como ejemplo de la relación entre la resolución de pasatiempos y la resolución de problemas.Los pasatiempos matemáticos de la prensa que nosotros conocemos corresponden a periódicos y revistas españolas, que son las que están a nuestro alcance.

Nos encantaría que lectores de otros países nos hicieran llegar ejemplos de sus periódicos; esto nos permitiría enriquecernos colectivamente, apreciar las diferencias idiomáticas, culturales y gráficas -si las hubiera-, o comprobar los efectos de la globalización (lease monopolización de los sudokus).

Pasatiempos Matemáticos de la Prensa

2007-12-27T19:00:00.000+01:00

Nace, finalizando el año 2007, en un día también acabado en 7, este blog que quiere ser un lugar de contacto para todos los apasionados y apasionadas por los pasatiempos matemáticos de la prensa: en periódicos de pago o gratuitos, en revistas especializadas o revistas de peluquería y de esperas.

Esperamos que su vida sea larga y saludable, aunque sabemos que ha de pasar por una etapa de infancia, inexperiencia, descubrimiento, errores, sorpresa, inocencia... para poder acceder a otras fases de su desarrollo tanto cognitivo como emocional.

Habrá momentos en que las tareas diarias absorberán nuestro tiempo, pero intentarenos no olvidarte blog de pasatiempos. Aunque esto es más fácil decirlo estando de vacaciones.

Que haya suerte blog que naces el 27 de diciembre de 2007 a las 7 de las tarde.